关于二阶常系数非齐次线性微分方程的求解关于二阶常系数非齐次线性微分方程的求解2011年07月23日网易博客安全提醒：系统检测到您当前密码的安全性较低，为了您的账号安全，建议您适时修改密码立即修改|关闭哥很低调！天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物关于二阶常系数非齐次线性微分方程的求解2011-07-2321:18:33|分类：我的论文|标签：|字号大中小订阅关于二阶常系数非齐次线性微分方程的求解隆建军(攀枝花市大河中学，四川攀枝花617061)摘要：二阶常系数非齐次线性微分方程的通解一般都是用“待定系数”法求解，但求解过程都比较繁琐，文章用初等积分法直接来求其通解，该方法简单，方便，且适用范围广泛。关键词：二阶常系数非齐次线性微分方程；通解；简单方法：O1431引言众所周知，常系数线性微分方程有广泛的应用价值，比如，二阶常系数线性方程（1）（其中为已知实常数，为函数），就是最为常见的数学模型之一，包括很多《高等数学》教材，《微分方程》教材在内。在对方程（1）求解时都是通过考察相应的特征方程，采用待定系数或常数变易法，但其求解过程一般都比较繁琐，且还要受到方程（1）的自由项的形式限制。2005年陈利娅，李先富用“初等积分法”给出了方程的特解.本文将用“初等积分法”直接对二阶常系数非齐次线性微分方程（１）求通解，此方法简单，且不受的形式限制，所以适用范围比较广泛。而且当时，此方法就是对二阶常系数齐次线性微分方程（2）２相关定义为了使方程（1）降阶为一阶线性微分方程，不妨设（3）则方程（1）变为作者简介：隆建军，男，（1981.6-）,中学二级教师,学士学位，研究方向：主要从事基础数学研究即（4）由韦达定理和（3）可知是一元二次代数方程：（5）的两个根。定义2.1以为未知数的一元二次代数方程（5）称为二阶常系数齐次线性微分方程（2）的特征方程，其特征方程（5）的二根和称为方程（2）的特征方程。3主要结果及其证明定理3.1若和称为方程（2）的两个特征根，则方程（1）的通解为（6）证明：由已知和为方程（1）的两个特征根，则方程（1）等价为方程（4），令代入方程（4）并整理，得和。解之，即得方程（1）的通解证毕。由定理1知，只需通过两个不定积分（当（6）式中的积分可积时）即可求得方程（1）的通解，为了方便定理的使用，我们给出如下更一般的结论。定理3.2若和称为方程（2）的两个特征根，则（Ⅰ）当是方程（2）的互不相等的两个实特征根时，方程（1）的通解为（7）（Ⅱ）当是方程（2）的相等的两个实特征根时，方程（1）的通解为（8）（Ⅲ）当是方程（2）的两个共轭复特征根时，方程（1）的通解为证明：（Ⅰ）当是方程（2）的互不相等的两个实特征根时，将方程（1）的通解（6）进行分部积分，得（Ⅱ）当是方程（2）的相等的两个实特征根时，将方程（1）的通解（6）进行分部积分，得（Ⅲ）当是方程（2）的两个共轭复特征根时，，再由欧拉公式，有（9）（10）将（9），（10）代入（7）式，整理可得方程（1）的通解为证毕。4实例例1求微分方程的通解。解：该方程所对应的齐次方程的特征根方程为，特征根为所以由定理2，得原方程的通解为：例2求微分方程的通解解：该方程所对应的齐次方程的特征根方程为，特征根为，所以由定理2，得原方程的通解为：例3求微分方程的通解解：该方程所对应的齐次方程的特征根方程为，特征根为，所以由定理2，得原方程的通解为：5定理3.2的推论在定理3.2中，若令，则得到二阶常系数齐次线性微分方程（2）的通解：推论5.1若方程（2）的两个特征根为和（Ⅰ）当是方程（2）的互不相等的两个实特征根时，方程（2）的通解为（Ⅱ）当是方程（2）的相等的两个实特征根时，方程（2）的通解为（Ⅲ）当是方程（2）的两个共轭复特征根时，方程（2）的通解为（其中为任意常数）。证明：略本文结论填补了微分方程教材上对二阶常系数（非）齐次线性微分方程的求解没有统一公式这一空白，而且求解方法具有一般性，对学习微分方程的朋友将大有用处。参考文献：[1]同济大学应用数学系.高等数学（下册）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.[2]华中理工大学数学系.高等数学（下册）[M].北...