2.2.3向量数乘运算及其几何意义一、教学内容分析实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。二、教学目标设计1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。三、教学重点与难点重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。四、教学用具准备多媒体、实物投影仪五、教学流程设计情境设置向量平数乘向行的充量的运引入定义要条件算律)例题解析、巩固练习、课后习题(运用与深化六、教学过程设计．1．设置情境：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数F=ma，位移与速度的关系量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系s=vt。这些公式都是实数与向量间的关系。a+a+a(-a)+(-a)+(-a)向量，和师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？aaaa+a+)a)a)+(-a+(-(-的方向相同，其方向与生：的长度的3倍，的长度是aa的方向相反。3的长度是倍，其方向与长度的师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）2．探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）aλ5?+3=33+3+3+3的积就与向量的解释，可根据小学算术中类比规定：实数λaaλ相乘的含义作一番解释才行。与向量，它还是一个向量，但要对实数是aλaλ.它的长度和方向规定如下：的积是一个向量，记作实数与向量|λa|=|λ||a|.）（1λaaλaa0<>0λλ的方向相反；的方向相同；当时，的方向与（2）的方向与时，a=0λa=00=λ.时，或特别地，当2）运算律：6aa2a+2b)2(3a)b2(a+与向量向量和为非零向量）（并进行比较，求作向量问：相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）2(3a)=6a2a+2b=2(a+b).，生：abμλ为任意实数，则有：、、为任意向量，师：设(λ+μ)a=λa+μaλ(μa)=(λμa)λ(a+b)=λa+λb.2）（1（；；3）（））称为分配律。）（3通常将（2）称为结合律，（1：小练习1a--b)b)-2(a(-3)?4a3(a+；计算：（1）；（2）)cb+-(3a-2(2a+3b-c).）（3）向量平行的充要条件：3ban2-2m+a=m-nb=、请同学们观察，，回答有何关系？baab=-2.生：因为，所以是平行向量、bab=λ=λaab、？为什么？可得出是平行向量，能否得出引导：若吗？为什么？ba.生：可以！因为平行，它们的方向相同或相反、ab平行的充要条件是有且仅有一由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量师：a=λbλ.个实数，使得对此定理的证明，是两层来说明的：abλaλb=λ平与，则由实数与向量乘积定义中第其一，若存在实数(2)，使条可知ab.与平行行，即|b|μbaba0a1=（这是实数概念），设其二，若．接下来看与平行，且不妨令、|a|ababaμb=b=-μa，总而言之，存在、反向，则记方向如何：①、，②若同向，则b=λaμ-λ=μλ=λ.实数或（）使ACBC3DE=AD=3ABAE是否平行．与，试判断，小练习2：如图：已知AC3)=+3BC=3(ABBCAB+AE=ADDE=3+解： ACAE.∴平行与）单位向量：4.的向量单位向量：模为1aa0a1a.）的单位向量：与（向量同方向的单位向量，记作01aa?=Taaaa=?a||如何用）来表示？思考：（000||a3．例题与练习：ABCABCΔEDAB是中，的中点，：如图，在是题1DBCBE=2，是根据下列要求表示向量延长线上的点，且DE：EBC1题CBBCCABA.、（1）用表示、表示；（2）用ACNABCΔABM的中点，用向量方法证明：分别是中，已知2题：如图，在、、1BC/...