幂与指数1.a的n次幂的定义如果a是一个实数，n是一个正整数，那么称an为a的n次幂.正整数指数幂满足如下的运算性质：对任意给定的实数a、b及正整数s、t，以下成立（1）asat＝as＋t,（2）(as)t＝ast,（3）(ab)t＝atbt．定义：a0=1，a-n=.2.a的n次方根的定义一般地，如果n大于1的整数，且xn＝a，那么x叫做a的n次方根.3.a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数Rn为偶数±[0，＋∞)4.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．指数幂的拓展（1）知识一5.根式的性质(1)负数没有偶次方根．(2)0的任何次方根都是0，记作.(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．(4)＝a(n为大于1的奇数)．(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．题型、n次方根的化简与计算【例1】求使等式成立的实数a的取值范围．【答案】[-3,3]【解析】，要使|成立，需解得a∈[－3,3]．要点：对于，当n为偶数时，要注意两点(1)只有a≥0才有意义．(2)只要有意义，必不为负．【例2】（2020年上海高一必修1教材例题）（1）求的5次方根；（2）求81的4次方根.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以（2）因为任何正数的偶次方根有两个，所以81的4次方根为.【例3】化简下列各式：(1)；(2)；(3).【答案】（1）-4；（2）4;（3）当x≥-2时，原式=x+2,当x<-2时，原式=-x-2.【解析】(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝要点：根式的化简与求值的思路及注意点1.思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．2.注意点：①正确区分()n与两式；(1)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．②运算时注意变式、整体代换以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论．【例4】已知－3<x<3，求的值．【答案】当-3<x<1时，原式=-2x-2;当1≤x<3时，原式=-4.【解析】原式＝因为－3<x<3，所以当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.综上所述，当-3<x<1时，原式=-2x-2;当1≤x<3时，原式=-4.拓展延伸本例中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？【答案】4.【解析】原式＝因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，故原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.方法总结:有限制条件根式的化简(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．举一反三1.下列各式正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由于，，，故A，B，D项错误，故选C.2.化简＝________．【答案】a－1【解析】由a－1≥0，a≥1.故原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1.3.若，则实数a的取值范围为________．【答案】a≤【解析】，因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤.4.求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】（1）-2；（2）；（3）π-3；（4）.【解析】(1)＝－2.(2).(3)＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝.当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．所以原式＝5.已知－1<x<2，求的值．【答案】1-2x.【解析】原式＝因为－1<x<2，所以x＋1>0，x－2<0，所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.1.分数指数幂（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)．（2）规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)．（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．2.有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．(4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．3.无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4.定理（幂的基本不等式）当a>1,s>0时，恒成立拓展当0<a<1,s>0时，恒成立指数幂的拓展（2）知识二题型一、根式与有理数指数幂的互化【例5】将下列根...