课时29曲线与方程模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）1．与两圆x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在()A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上【答案】B【解析】圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．2．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是()A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对【答案】C【解析】由条件得∴或.3．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是()A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)B.x2－3y2＝1(x>0，y>0)C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)【答案】A4．已知|AB|＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP＝OA＋OB，则动点P的轨迹方程是()A.＋y2＝1B．x2＋＝1C.＋y2＝1D．x2＋＝1【答案】A【解析】设A(0，a)，B(b,0)，则由|AB|＝3得a2＋b2＝9.设P(x，y)，由OP＝OA＋OB得(x，y)＝(0，a)＋(b,0)，由此得b＝x，a＝3y，代入a2＋b2＝9得9y2＋x2＝9⇒＋y2＝1.5．如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】B【解析】由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝R(R为圆的半径)且R>|OA|，故E的轨迹为椭圆．6．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A．y2－＝1(y≤－1)B．y2－＝1(y≥1)C．x2－＝1(x≤－1)D．x2－＝1(x≥1)【答案】A7．直线＋＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是__________．[答案]x＋y＝1(x≠0，x≠1)【解析】(参数法)设直线＋＝1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2－a)，A、B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.8．已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点．若2OQ＝QP，则点Q的轨迹方程是________．[答案]2x＋4y＋1＝0【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x1，y1)．根据2OQ＝QP得2(x，y)＝(x1－x，y1－y)，即∵点P在直线l上，∴2x1＋4y1＋3＝0，把x1＝3x，y1＝3y代入上式并化简，得2x＋4y＋1＝0，即为所求轨迹方程．9．已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1,0)，动圆M过点F2且与圆F1相内切．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)若过原点的直线l与(1)中的曲线C交于A，B两点，且△ABF1的面积为，求直线l的方程．10．如图，过圆x2＋y2＝4与x轴的两个交点A、B，作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD于C、D两点，设AD、BC的交点为R.(1)求动点R的轨迹E的方程；(2)过曲线E的右焦点F作直线l交曲线E于M、N两点，交y轴于P点，且记PM�＝λ1MF�，PN�＝λ2NF�，求证：λ1＋λ2为定值．【解析】(1)设点H的坐标为(x0，y0)，则x＋y＝4.由题意可知y0≠0，且以H为切点的圆的切线的斜率为：－，故切线方程为：y－y0＝－(x－x0)，展开得x0x＋y0y＝x＋y＝4.即以H为切点的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝4，∵A(－2,0)，B(2,0)，将x＝±2代入上述方程可得点C，D的坐标分别为C(－2，)，D(2，)，则lAD：＝①，及lBC：＝②.将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为：x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.(2)由(1)知轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F(，0)．(ⅰ)当直线l的斜率为0时，M、N、P三点在x轴上，不妨设M(2,0)，N(－2,0)，且P(0,0)．此时有|PM|＝2，|MF|＝2－，|PN|＝2，|NF|＝2＋，[新题训练]（分值：15分建议用时：10分钟）11．（5分）动点P(x，y)到定点A(3,4)的距离比P到x轴的距离多一个单位长度，则动点P的轨迹方程为()A．x2－6x－10y＋24＝0B．x2－6x－6y＋24＝0C．x2－6x－10y＋24＝0或x2－6x－6y＝0D．x2－8x－8y＋24＝0【答案】A【解析】本题满足条件|PA|＝|y|＋1，即＝|y|＋1，当y>0时，整理得x2－6x－10y＋24＝0；当y≤0时，整理得x2－6x－6y＋24＝0，变为(x－3)2＋15＝6y，此方程无轨迹．12．（10分）已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程．
