概率论与数理统计第11讲（夜大）第三节相互独立的随机变量本部分我们将讨论两个随机变量相互独立的概念，这是一个十分重要的概念。定义：设分别是二维随机变量的分布函数和边缘分布函数。若对于所有的x,y，有即则称随机变量X和Y是相互独立的。设是连续型随机变量，yfxfxyfYX,,,分别为的概率密度和边缘概率密度，则X与Y相互独立的条件等价于yxffxyfYX,几乎处处成立。当X,Y是离散型随机变量时，X和Y相互独立的条件等价于：对于的所有可能取值，有例如：推导二维正态概率密度的边缘概率密度对于二维正态随机变量X,Y，其概率密度为：2222211212122212121exp121,yxxxyf边缘概率密度分别为：；当0时，有yxffyxxyfYX222221211221exp21,即有X与Y相互独立。反之，如果X与Y相互独立，由于都是连续函数，故对于所有的，有。特别令，得到1从而有。所以我以下结论：对于二维正态随机变量，X和Y相互独立的充分必要条件是参数。以上关于二维随机变量的讨论，可以很容易推广到维随机变量的情况。维随机变量的分布函数定义为其中nxx,,1为任意实数。若存在非负函数，使对任意实数nxx,,1，有则称为的概率密度函数。设的分布函数或概率密度已知，则的维边缘分布函数或边缘概率密度就随之确定。例如关于的边缘分布函数分别为边缘概率密度为：若对于所有的nxx,,1有则称是相互独立的。若对于所有的有其中分别为随机向量的分布函数，则称随机向量相互独立。关于独立性，有下面重要定理。2定理1：若连续型随机变量的概率密度可以表示为个函数之积，其中只依赖于，即则相互独立，且的边缘概率密度与只相差一个常数因子。证：由联合概率密度，可以知道的边缘概率密度为同理可证的概率密度为。定理2：设相互独立，则和相互独立。又若是连续函数，则相互独立。（证明略）例1若的联合分布律为XY12311/61/91/1821/3并且X和Y相互独立，求。解：由联合分布律，可以分别求得X和Y的边缘分布律。X121/31/3+由于X，Y相互独立，所以由此得到。例2设随机变量的概率密度为问X，Y是否相互独立？Y1231/21/9+1/18+3解：先求边缘概率密度。当或时，有；当时，于是，有同理，当或时，；当时，于是当，时，对其他，恒有实际上，由定理1，可以很容易判定两个随机变量X，Y相互独立。例3设随机变量X，Y相互独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布，引进事件，已知，求常数。解：设，由X，Y独立同分布可知，，所以有。由此得到，从而而X在区间[1，3]上服从均匀分布，即所以由此解得4