具有脉冲接种的SIQR传染病模型林秀娟靳祯(中北大学数学系,山西太原030051)〔摘要〕建立了具有脉冲预防接种的SIQR传染病模型,利用脉冲微分方程基本理论,对模型的动力学性态进行了分析,给出了模型的基本再生数,证明了无病周期解的存在性及全局稳定性.〔关键词〕脉冲接种;隔离;无病周期解;稳定性〔文章编号〕167222027(2006)0420005203〔中图分类号〕O175〔文献标识码〕A1数学模型预防接种是提高人体免疫水平,控制疾病的发生和流行的重要措施.预防接种的方式很多,如给一定比例的易感者接种,给新生儿接种,给特定的人口群体接种等.相对来说,在某个时间按易感者比例集中接种,即脉冲接种,更为有效1.近年来,具有脉冲接种的传染病模型研究进展迅速,这方面的近期文章可参看文献1,2.为了控制传染病的流行,对染病者进行隔离也是一种常用的措施,因此研究带有隔离项的传染病模型意义重大.文献3,4对此做了一定的工作.他们均假设被隔离者按指数形式恢复而成为易感者或免疫者,所对应的系统是常微分方程.本文所建立的SIQR传染病模型把脉冲预防接种和隔离病人两种疾病控制措施结合考虑,研究脉冲微分方程系统,这样与实际更为接近.本文中把总人口N(t)分为易感者S(t),染病者I(t),隔离者Q(t),和恢复者R(t)四部分,并且对易感者进行脉冲预防接种,接种后可永久免疫,建立SIQR模型如下:S′(t)=I′(t)A-ΒSI-ΒSI-(Χ+ds,∆+Α2+d+Α1)IΗ)Qt≠nΣ,n=0,1,2,,Q′(t)=∆I-(d+R′(t)=ΧI+ΗQ-dR,(1)S(nΣ+)=I(nΣ+)=Q(nΣ+)=(1-p)S(nΣ),I(nΣ),Q(nΣ),t=nΣ,n=1,2,.R(nΣ)+pS(nΣ),表示易感者具有常数移民,Β表示有效接触率,d表示自然死亡其中,参量A,Β,d,Χ,Η,∆,p,Σ都是正常数.A率,Χ和Η分别为从I类和Q类移出率,∆表示对病人的隔离率,p表示对易感者的接种率,Σ表示脉冲周期.Α1≥0和Α2≥0分别为I类和Q类人群的因病死亡率.方程(1)的可行域为8A(S,I,Q,R)∈R4|S+I+Q+R≤,且8是(1)的正向不变集.+d无病周期解的局部稳定性首先讨论无病周期解的存在性.当I(t)=Q(t)=0(t≥0)时,系统(1)变为:2Ξ收稿日期:2006210225基金项目:国家自然科学基金资助项目,编号:10471040;山西省自然科学基金资助项目,编号:2006011009.6太原师范学院学报(自然科学版)第5卷S′=A-dS,R′=-dR,S(nΣ+)=(1-t≠nΣ,(2)p)S(nΣ),t=nΣ.R(nΣ+)=R(nΣ)+pS(nΣ),AAS(nΣ+)-]e-d(t-在区间nΣ<t≤(n+1)Σ上求解系统(2)的第一个方程,得到S(t)=+令Sn=ddS(nΣ+),即Sn表示刚刚经过第n个脉冲时刻后的易感者数量.设F:Sn→Sn+1是一个映射,满足Sn+1=F(Sn)e-dΣ)dF(Sn)(1-p)(1-p)[A+nA该映射有唯一的不动点S0=A)e-dΣ,=(1-(S-.因为=(1-(1-p)e-dΣ]d1-dSnddSn=S0p)e-dΣ<1,所以不动点S0是稳定的,从而可得序列{Sn}必收敛于S0.故系统(1)有一个无病Σ周期解(S(t),0,0,R(t)),其中:-d(t-nΣ)ApeS(t)=1-,nΣ<t≤(n+1)Σ.(3)-dΣd1-(1-p)e同理可得:-d(t-nApeΣ)nΣ<t≤(n+1)Σ.R(t)=,(4)(1-p)e-dΣ]d1-下面讨论无病周期解的局部稳定性.令S(t)=S(t)+s(t),I(t)=i(t),Q(t)=q(t),R(t)=R(t)+在t≠nΣ时,系统(1)关于无病周期解(S(t),0,0,R(t))的线性化系统为:r(t).--ΒS(t)00s′i′dsiqr000ΒS(t)-(Χ+∆+∆Χd+Α1)0(d+Α2+Η00=q′r′Η)--de-dt0Υ12(t)00texp{∫0ΒS(Ρ)dΡ-(Χ+∆+d+Α1)t}0e-(d+Α2+Η)Υ43(t)0此系统的基解矩阵5(t)=.根据Floquet定Υ32(t)Υ42(t)(1-p)00p000e-dt010000100001理,无病周期解稳定的充分必要条件是矩阵M=5(Σ)的特征值的模小于1.通过计算t得到矩阵M的特征值如下:Κ1=e-dΣ<1,Κ2=(1-p)e-dΣ<1,Κ3=e-(d+Α2+Η)Σ<1,Κ4=exp{∫ΒS(t)dt-(Χ+∆0t+d+Α1)Σ}.易得Κ4<1当且仅当Β∫03S()tdt<Χ+∆+d+Α1Σ.定义系统1的基本再生数R=()()tΒ∫S(t)d.由以上的分析可得下面的定理:(+∆+d+Α1定理2.1Σ当R3<1时,系统(1)的无病Σ周期解(S(t),0,0,R(t))局部渐近稳定.3无病周期解的全局稳定性当R3<1时,系统(1)的无病Σ周期解(S(t),0,0,R(t))全局渐近稳定.定理3.1证明由定理2.1知,只需证明当R3<1时,系统(1)的任一解都趋于(S(t),0,0,R(t)).事实上,由系统(1)得:7第4期林秀娟等:具有脉冲接种的SIQR传染病模型S′≤A-dS,t≠nΣ,S(nΣ+)=(1-p)S(nΣ),t=(5)n...