第二节可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同.从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法.本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.分布图示★可分离变量微分方程★例1★例2★例3★例4★例5★例6★齐次方程★例7★例8★例9★例10★例11★可化为齐次方程的微分方程★例12★例13★例14★例15★内容小结★课堂练习★习题8-2内容要点一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程dy?F(x,y),dxF(x,y)?f(x)g(x)，即有如果其右端函数能分解成dy?f(x)g(y).(2.1)dxf(x),g(x)都是连续函数为则称方程(2.1)可分离变量的微分方程，其中.根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解.求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.二、齐次方程：形如dyy???f??(2.8)dxx??的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、可化为齐次方程的方程：对于形如??c?byax?dy111??f???dx?cax?by??222的方程，先求出两条直线0c?y,xa?b?0??y?xabc212112(x,y)，然后作平移变换的交点00．X?x?xx?X?x??00即??y?Y?y?yY?y??00dydY，于是，原方程就化为齐次方程这时，?dxdX??Y?baXdY11??,?f??YbX?dXa??22例题选讲可分离变量的微分方程dy?2xy的通解求微分方程.例1（E01）dxdydy??2分离变量得两端积分得解C|?x?yln|xdx2?xdx2?1yy222CCxC?xx,C??e则得到题设方程的通解记从而,.y??e??eCe?ey?1112ydy??xydyydxdx?.求微分方程E02）的通解2例（2得及解先合并的各项,dx?1)??y(x1)dy(ydxdy1y2设分离变量得,,0x?1?0y?1?dxdy?21x?1y?y11??2两端积分得dx?dy||C|?ln|1?ln|x?ln|y1?12x?121y?222222于是则得到题设方程的通解记)xy??1??C1(.?1)1C??C?,C(xy?11注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中,我们在假定的前提下,0)?g(y用它除方程两边,这样得到的通解,不包含使的特解.但是,有时如果我们扩大任0?y)(g意常数C的取值范围,则其失去的解仍包含在通解中.如在例2中，我们得到的通解中应该，但这样方程就失去特解，而如果允许，则仍包含在通解0CC?0?1y?1??y?22中.)?1C?1?(xy22?,tanx?cos2x?f(sinx)3已知当时，求例10?x?).f(x22,y?x?121cosy?sinx,2x??2sin则设解22yxsinsinx2.tanx???22y1?xsin?1xcosy1??即所以原方程变为.y?)?,?f2f((y)?1?2y?y1?y1?y??12??所以y???y?2,?C?y)?ln(f(y)?1dy??1?y??2故C??x[x)]?ln(1)f(x??).1?x?(0例4设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体t的变化规律.温度随时间解设物体的温度与时间的函数关系为在上节的例1中我们已经建立了该t),(tT?TT问题的数学模型:dT?(1)???k(T?20)?dt(2)?T|?100?0t?dT得分离变量,其中为比例常数.下面来求上述初值问题的解.)k(k?0;kdt??T?201??)，(得其中两边积分为任意常数C20|T?|??kt?lnC,dT??kdt1120T??kt?CCCktkt??).(其中即e?T?20??eCe?C??e?e111?kt,Ce?20?T再将条件(2)代入,得从而,80?20?C?100?kt于是，所求规律为.80eT?20?注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度按照牛顿冷却定律从原来的37℃开始下降，假设两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体tT的变化规律。又如果尸体被发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，那么温度随时间谋杀是何时发生的?解根据物体冷却的数学模型，有dT????k(T?20),k?0?dt?T(0)?37.?k?0是常数，分离变量并求解得其中?ktCe?20T?，T(0)?37C?17，于是得该初值问题的解为，可求得代入初值条件?kte17T?20?。k℃这一条件，由35值，根据两小时后尸体温度为为求出?k?2e?1735?20，063k?0.，于是温度函数为求得?0.063teT?20?17，t30T?，有代入上式求解将10?0.063te?t?8.4（小时），即得。17于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时，即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的。例6（E04）某公司t年净资产有(百万元),并且资产本身以每年5%的速度连续增)(tW长,同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付...