第29卷第3期2009年6月黄冈师范学院学报JournalofHuanggangNormalUniversityVol.29No.3Jun.2009一阶常微分方程具有一种乘积形式积分因子的求解徐彬(华中科技大学武昌分校基础科学部,湖北武汉430064)摘要讨论一阶常微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的积分因子问题,给出了方程具有ts形如f(x+y)g(ax+by+cxy)的积分因子的充要条件以及求上述积分因子的方法。αβ关键词一阶常微分方程;恰当方程;积分因子O175文献标识码A28078(2009)2MSC200034A15ThesolutionltionwithlaproductformXUBin(DepartmentofBasicScience,HuazhongUnivercityofScienceandTechnologyWuchangBranch,Wuhan430064,China)AbstractThispaperdiscussestheproblemofintegralfactorforthefirstorderordinarydifferentialequation:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,givesasufficientandnecessaryconditionofintegralfactorwiththeformoff(x+y)g(ax+by+cxy)andbringsamethodforsolvingtheintegralfactor,Moreover,thispaperappliesthetsαβmethodtoanexample.Keywordsfirstorderordinarydifferentialequation;completedifferentialequation;integralfactor讨论一阶常微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=012的求解,其中M(x,y),N(x,y)∈C(D),D为R上的单连通区域.当(1)=,(1)称为恰当方程,对于yx恰当方程有全微分形式M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y),方程(1)有通解u(x,y)=c,c为任意常数.,若存在连续可微的函数μ(x,y)≠0,使得yxμ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0(2)[1]有,则(2)为恰当方程,μ(x,y)≠0叫做方程(1)的积分因子.5y5x寻求积分因子使一阶常微分方程转化为全微分方程是求解方程(1)的一种好方法,但通常情况下所得到的积分因子需满足的条件为一个偏微分方程,因而给积分因子的求解带来了一定的复杂性.近年来很多数学工作者对方程(1)给予了很多的关注,给出了方程具有不同形式的积分因子的一系列理当收稿日期:2009203215.作者简介:徐彬,女,助教,硕士,主要研究方向为偏微分方程.・14・黄冈师范学院学报第29卷论及求解方法(具体可参阅文献[2-5]).受文献[2-5]的启发,本文研究了方程(1)具有乘积形式αβtsf(x+y)g(ax+by+cxy)的积分因子,a,b,c,α,β,t,s∈R,得到方程具有上述积分因子的充要条件,并结合实例给出具有上述形式积分因子的求解方法.1主要结果αβts定理1对常微分方程(1),若-≠0,则方程具有f(x+y)g(ax+by+cxy)乘积形式的积5y5x分因子的充要条件是关系式-(z1)g(z2)[N-M]+g′(z2)f(z1)[(atxf′t-1αx+cα-1βy)N-(bsys-1βxy+cαβ-1)M]=f(z1)g(z2)成立,其中z1=x+y,z2=ax+by+cxy.ts证明由全微分方程的定义,积分因子f(x+y)g(ax+by+cxy)应满足关系式tsαβαβ=,yx稍加整理即得到-(z1)g(z2)[N-]+g2)f(atxf′t-1xα-1βy)(βxy+cαβ-1)M]=f(z1)g(z2),.ts推论(,G(ax+by+cxy)使得关系式αβ(bsys-1βxy+cαβ-1-)M-(atxt-1αx+cα-1βy)N=G(ax+by+cxy)tsαβαβG(z)dzts成立,则方程具有g(z2)=e∫22,z2=ax+by+cxy的积分因子.ts下面给出求具有乘积形式积分因子f(x+y)g(ax+by+cxy)的方法:αβ定理2对方程f(x+y)Mdx+f(x+y)Ndy=0,(3)假设满足关系式(z1)(N-M)+f(z1)-f′αβts=G(ax+by+cxy),αβ-1α-1βs-1t-1βxy)M-(atx+cαxy)N]f(z1)[(bsy+c(4)αG(z)dzts其中z1=x+y,则方程(3)具有形如g(z2)=e∫22,z2=ax+by+cxy的积分因子,故方程(1)具有形如f(x+y)e∫2G(z)dz2的积分因子.证明此定理是推论1的一个直接结果,具体过程省略.注解将(4)稍加整理可得(z)f′=f(z1)G(z2)[(bsys-1βxy+cαβ-1)M-(atxN-Mt-1αx+cα-1βy)N]+-.通过选取适当的函数G(z2)使得等式右端仅为z1=x+y的函数,可确定出函数f(z1),从而求出原方程对应的积分因子.αβts从上述注解中实际上我们可以得到求乘积形式f(x+y)g(ax+by+cxy)的积分因子的方法,即简化为下面的两步完成:(1)求方程f(x+y)Mdy+f(x+y)Ndy=0的具有g(ax+by+cxy)形式的积分因子要满足的条tsαβ件;第3期徐彬:一阶常微分方程具有一种乘积形式积分因子的求解t・15・s(2)从满足的条件表达式中整理出函数f(x+y)所要满足的关系式,进而选取适当的g(ax+by+cxy),确定出f(x+y).αβ2应用举例例求解方程(x+y-解设M=x+y-G(z2)[(bsys-1.2)dx+(x+y+22)dy=0x+2xy+yx+2xy+y2α=β=1,t=s=c=2,计算得到2,N=x+y22,取a=b=x+2xy+yx+2xy+y2βxy+cαβ-1)M-(atxN-Mt-1αx+cα-1βy)N]+-G(z2)[(2y+2x)(x+y-2)-(2y+2x)x+y+22]+32(x+y)G(z2)(-2x+y)+23-G(z2)+=(x+y)xf(y)+(xy)2,f(x+y)=x+y,于是原方程具有积分因子为f(x+y)e(政法z2(xy).可得原方程的通解为24(x+y)-x+y=c,c为任意常数.4参考文献:[1]丁同仁,李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,1990.[2]高正晖.一阶微分方程三类因子的计算[J].衡阳师范学院学报,2002,23(4):52-55.[3]陈明玉.一阶常微分方程积分因子的充要条件[J].大学数学,2005,21(1):130-133.[4]李德新.两类特殊微分方程的积分因子解法[J].高等数学研究,2008,11(3):33-34.[5]刘小玲.一类积分因子存在的充要条件及应用[J].邯郸学院学报,2007,17(3):20-23.责任编辑张所滨