适合高中生阅读§“互斥事件”与“相互独立事件”的概念辨析江少芳上海市上海大学附属中学邮编（200444）电子邮箱：jiangshaofang@126.com联系电话：13761087682通信地址：上海市宝山区上大路688号互斥事件和相互独立事件是概率论中的两个重要概念，但是很多同学在学习了这两个概念之后产生了混淆，从而在解题时导致了一些不易察觉的错误，那么互斥事件和相互独立事件到底有什么联系与区别？下面就来对这两个概念做一个有效的辨析。一、概念辨析：（1）互斥事件：对于事件A、B，若不可能同时发生，则称A、B为互斥事件。从集合的角度来认识，满足，进一步的，当时，事件A、B是对立事件。因此有概率加法公式：，即，特别地，当A、B对立，记，有。（2）独立事件：对于事件A、B，如果，那么称A、B是相互独立事件。直观解释就是，事件A（或B）发生对事件B（或A）发生的概率没有影响。上述定义中的公式即相互独立事件的概率乘法公式。可以证明，如果A与B相互独立，则也都相互独立。二、实例辨析：判断下列事件A、B是否是互斥事件？是否是相互独立事件？（1）将一枚硬币连抛两次，事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现正面”；解析：显然事件A、B不可能同时发生，故为互斥事件，。，因此A、B不是相互独立事件。（2）如图所示，用A、B两类不同的元件连接成系统S，当元件A、B都正常工作时，系统S正常工作，已知元件A、B正常工作的概率依次为0.8、0.9，求系统S正常工作的概率；S:解析：设元件A、B正常工作分别为事件A、B，由已知得，显然事件A（或B）发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，A、B是相互独立事件，，即事件A、B完全可能同时发生，不是互斥事件。（3）一个袋子里装有同质的5个白球和3个黄球，事件A：“从8个球中任取1个，取出的是白球”，事件B：“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；解析：显然事件A、B完全可能同时发生，不是互斥事件，，又，当A发生时，，当A不发生时，，因此事件A、B也不是相互独立事件。（4）事件A：“常温下，水结冰”，事件B：“掷一枚硬币，出现正面”；分析：显然事件A是不可能事件，所以，因此A、B不可能同时发生，是互斥事件，并且不管A是否发生，都有，也即A、B也是相互独立事件。。三、归纳感悟：从上述实例中我们会发现，互斥事件与相互独立事件有如下关系：（1）对事件A、B，若，有以下结论：若A、B相互独立，则A、B一定不互斥（否则与矛盾）；若A、B互斥，则A、B一定不相互独立。反之，AB不互斥的两个事件可能相互独立也可能不相互独立，同样，不相互独立的两个事件可能互斥也可能不互斥。（2）若事件A、B至少有一个为不可能事件，即至少有一个的概率为0，则A、B一定互斥，且一定相互独立。同时，我们也不难归纳出对两个事件是否相互独立的两种判断方法：（1）经验法：根据问题的实质，从直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率，若没有影响，则可判断相互独立。（2）定义法：根据定义式来判断，这是因为并不是所有的问题都是那么容易通过“直觉”判断的，比如说一个家庭中有两个小孩（假定生男、生女是等可能的），令，则，，，，，，，由此可知，，故不相互独立。四、综合应用：甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率均为0.8，求：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰有1人击中目标的概率；（3）至少有1人击中目标的概率。解析：（1）记“甲射击一次击中目标”为事件A，“乙射击一次击中目标”为事件B，显然A、B相互独立，所以。（2）有两种情况：甲击中乙未击中，即或甲未击中乙击中，即，显然在一次试验中，两种情况不可能同时发生，即与是互斥的，又因为是相互独立的，所以（3）从正面考虑有三种情况：或，从对立角度考虑只有一种情况：，因为相互独立，所以，所求概率为。总而言之，只有当我们厘清了事件之间的相互关系之后，才能正确的使用公式，才能对所要解答的问题有客观的认识从而作出准确的解答。参考文献魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983：41-46