§5从力做的功到向量的数量积课后篇巩固探究A组基础巩固1.若向量a,b满足|a|=3,a·b=-5,则b在a方向上的射影等于()A.15B.-C.-D.-15解析b在a方向上的射影为|b|cosθ==-.答案C2.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于()A.B.C.-D.-解析由m⊥n,得m·n=0,由(m+kn)⊥(m-3n),得(m+kn)·(m-3n)=0,即|m|2-3k|n|2=0,∴3k==4,∴k=.答案A3.若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为()A.B.C.D.答案A4.若向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-b,则向量a与c的夹角为()A.0B.C.D.解析 c=a-b,∴a·c=a·a-·a·b=0,∴a与c的夹角为.答案D5.如图,已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,则()·()等于()A.B.-C.D.-解析 点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,∴||=||=||=,∠AOB=∠BOC=∠AOC=,∴()·()=+3cos=-.答案D6.在△ABC中,AB=6,O为△ABC的外心,则等于()A.B.6C.12D.18解析如图,过点O作OD⊥AB于点D,易知AD=AB=3,则=()·=3×6+0=18,故选D.答案D7.已知|a|2=1,|b|2=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为.解析设a与b的夹角为θ,由已知得a2=a·b,又|a|=1,|b|=,∴1·cosθ=1.∴cosθ=.又θ∈[0°,180°],∴θ=45°.答案45°8.在△ABC中,已知||=||=4,且=8,则△ABC的形状为.解析由=8,得16×cosA=8,即cosA=,∠A=60°,又AB=AC,所以△ABC是等边三角形.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。答案等边三角形9.若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a+3b|=.解析 |a+3b|2=a2+2a·3b+9b2=1+6×1×2×cos60°+9×4=43,∴|a+3b|=.答案10.已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=,求值:(1)a·b;(2)(2a+b)·(a-2b);(3)|2a-3b|.解(1) |a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2,∴a·b=×(|a+b|2-|a|2-|b|2)=×(21-42-52)=-10.(2)(2a+b)·(a-2b)=2a2-3a·b-2b2=2|a|2-3a·b-2|b|2=2×42-3×(-10)-2×52=12.聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。(3)|2a-3b|==.11.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状?残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。解 a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.②①-②,得|b|2=|d|2,①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形. ,∴a=-c.又 a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0.∴a·b=0,∴.故四边形ABCD为正方形.B组能力提升1.若=0,则△ABC为()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形解析 =0,∴=0,∴·()=0,∴=0,∴,∴∠A=90°,∴△ABC为直角三角形.答案A2.在△OAB中,已知OA=4,OB=2,点P是AB的垂直平分线l上的任意一点,则=()A.6B.-6C.12D.-12解析如图,设AB的中点为M,则=()·)·()=)=-6.答案B3.下列四个命题:①若a-b=0,则a=b;②若a·b=0,则a=0或b=0;③若λ∈R且λa=0,则λ=0或a=0;④对任意两个单位向量e1,e2,都有e1·e2≤1.其中正确的命题是()彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④解析①是正确的;因为a·b=|a||b|cosθ=0⇒|a|=0或|b|=0或cosθ=0⇒a=0或b=0或θ=90°,故②是错误的;③是正确的;④中,e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ≤1,故④是正确的.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。答案C4.设a,b是非零向量,x∈R,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图像是一条直线,则必有()厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。A.a⊥bB.a∥bC.|a|=|b|D.|a|≠|b|解析f(x)=-a·bx2+(a2-b2)x+a·b. f(x)的图像是一条直线,∴a·b=0,a⊥b.答案A5.在矩形ABCD中,AB=,BC=4,点E为BC的中点,点F在CD上,若,则的值是()A.-5-B.5+C.4+D.5-解析如图所示,过点F作FG∥AD交AB于点G,易知=||·||·cos∠BAF=||·||=,故||==1,茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。所以=()·()==0-×(-1)+2×4+0=5+,...