格林公式及其若干应用孙瑜指导老师：魏瑛源（河西学院数学与应用数学专业2008届5班24号，甘肃张掖734000）扌商要对格林公式及其它学科的几种表现形式做了论述及证明，利用格林格林公式把二重积分化为曲线积分.关键词闭区域D；曲线枳分；二重积分；格林公式0172.21格林公式的内容格林公式是高等教学中一个著名的计算公式，它建立了曲线积分与二重积分之间的联系.它的条件，结论叙述如下：1.1单连通区域设O为一平面或空间区域，对于G内任意一条闭曲线，总可以在O内连续的收缩成O内一点则称。为单连通区域,否则称。是多连通区域.1.2格林公式I设Q是平面有界闭域，0D是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,P（x,y），eUy）wC（D）则SOdPPQ其中0少表示边界是正向，若厶是加的一条封闭曲线，则L定向如下：当人沿L进行时,使区域D在它的左边，或在厶上一点作一右手系标架［弓,勺］使勺指向厶的外法线方向，则勺的指向即为厶的方向.1.3格林公式II设D是平面有界闭域，8D是有限条封闭的彼此不相交的逐段光滑曲线户（无,y）,Q（x,y）丘c（£＞）则---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---〃为边界曲线的外法线方向.1.4外微分把被积表达式0中是函数(如P.Q)换成它的微分，化简时，凡岀现两个或〃z)的项规定为零,凡交换Nr与心位置(或与dz^dz与dx)时规定该项变号，这样所得的式子称为co的外微分，记作de.格林公式可表达如下:被积表达式co在区域边界上的积分等于它的外微分在区域上的积分，即J69=JJdC0aLD边界正向规定同上.2二重积分转化为曲线积分的一个定理及推论下面给出关于二重积分转化为曲线积分的一个定理并对它进行讨论.把二重枳分jj/(x,y)dxdy转化为曲线积分，关键是适当的选择具有一阶连续导数的二阶函D数P(x,y),Q(x,y),使oQdPoxdy在D上恒成立.为此，我们有下面的2.1定理数且设闭区域Q由分段光滑曲线厶围成，函数/(兀,刃在D上具有一阶连续倒k{x--\-k2y—=k3f(x,y),冏+心+闵工°dx"dy•则^f(x,y)dxdy=(/(兀,刃伙闷歹k2ydx)DK]+K2+K3其中厶取D的正向边界曲线.证令P=-k2yf(x,y)fQ=y),于是=-k2f(x,y)-k2y^t娄dyox---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---dP8Q_SPdxdy=+©)/(")+=伙|+他+k3)f(x,y),(x,y)eD.由格林公式得---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---f/(x,y^Qc^dy-k2ydx)=伙]+心+b)JJ/(*，y)dxdy,°D---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---从而---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---\\f(x,y)dxdy=-——~~4/(x,y)(k{xdy-k.yclx).Dk'+kz+k激2.2推论设闭区域D由分段光滑曲线厶围成，函数/(x,y)在D上具有一阶连续偏导数.则(i)当X—=l^(x,y)且k+lzO时，dx\\f^y)dxdy=丘吕jxf{x,y)dy；(ii)当y—=kf(x,y)且k+1工0时,SyJJ/(x,y)dxdy=£yf(x,y)dx；D*+1皿当煖+烽"时,/(无y)(xdy-ydx):(iv)当x—^―+y=0XL+心工0时,dxdyJJf(x,y)dxdy=1£f(x,y)(k{xdy-k2ydx),D冷+心其中厶取D的止方向边界曲线.3格林公式的应用3.1格林公式在流体力学及其他学科中有如下几种变型:---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---Pdy-Qdx⑴---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---(dP8Q\1[Sxdy)其中丘为曲线L的外法线方向.(3)||\udxdy-J~^~dsDL血则有Jj+-^-)dxdy=£(P}dy-Q}dx)再将下标去掉，即得.所以原式成立.(2)由平面曲线上两类曲线积分之间的如下联系式：£Pdx+Qdy=£(Pcosx+Qcos/3)ds其中a(x,y),0(x,y)为有向曲线弧L上点(x,y)处的切线向量的方向角.所以①式也可写成+Qdy=£(Pcosa+Qs\na)ds②即{dx=cosads©=sinads因为L为封闭曲线，取斤为曲线弧L上点(x,刃处的法线方向，如图1：..Jcos=—sina•(sina=cosa.®=_sin必再由⑴之结论，可得---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---(2)flDdxdy=£[Pcos(x,巨)+Qsin(x,nf^ls⑸ff(vAw-u\v)dxdy=J(D•dudvx.vu——)dsdndnPdx+中,令P=-Q\、0=A,⑷严心中鶉+芻曲+2知证明:图1在公式”欝-卸加E◁文笔...