连续统问题与Ω猜想郝兆宽/施翔晖/杨跃CCHaoZhaokuan/ShiXianghui/YangYue【专题名称】逻辑【专题号】B3【复印期号】2011年02期【原文出处】《逻辑学研究》(广州)2010年4期第30～43页【英文标题】ContinuumHypothesisandΩConjecture【作者简介】郝兆宽，复旦大学哲学学院；施翔晖，北京师范大学数学学院；杨跃，新加坡国立大学数学系。【内容提要】自从哥德尔和科恩证明了康托连续统假设相对于集合论公理系统ZFC的独立性之后，围绕着连续统问题，形式主义者和柏拉图主义者展开了持久争论。我们在本文中试图论证，武丁有关连续统假设所取得的最新进展有力地支持了柏拉图主义的立场。另一方面，我们把这些新进展看作是在哥德尔纲领下进行的工作，因此，作为一种哲学立场，柏拉图主义也推动着对集合宇宙的日益深刻的理解。SinceKurtGdelandPaulCohenshowedthattheContinuumHypothesiswasindependenttotheaxiomaticsystemofsettheoryZFC,therewasalastingdebatebetweenFormalismandPlatonismonthecontinuumproblem.Inthispaper,wetrytoarguethatrecentprogressabouttheCHmadebyHughWoodinisagreatsupporttothepointviewofPlatonism.Ontheotherhand,wetreattheseprogressasaworkundertheGdel'sProgram,hence,asaphilosophicalpointofview,Platonismisalsoadrivingforceforthemoreandmoredeeplyunderstandingoftheuniverseofsets.【关键词】连续统假设/武丁/Ω猜想/柏拉图主义/哥德尔EEUU1799071中图分类号：B81文献标识码：A文章编号：1674-3202(2010-04-0030-14一、历史连续统问题由来已久。当康托证明了实数的基数严格大于自然数的基数后，一个自然的问题就是：是否存在实数的一个子集，它的基数严格处于实数的基数和自然数的基数之间？康托坚信对这一问题的回答是否定的，即：不存在实数的一个子集，它的基数严格处于实数的基数和自然数的基数之间。在1900年的世界数学家大会上，希尔伯特将连续统问题列在他著名的23个数学问题的第一位，所以连续统问题也称为“希尔伯特第一问题”。康托花费了很多年试图去证明这一假设。事实上，他已经证明至少对于闭集连续统假设是成立的：每个不可数的闭集都具有连续统的基数。这也是他在连续统问题上取得的最好结果。不过，康托始终坚信会找到关于这个问题的证明，所以当另一位集合论学家寇尼希(JuliusKnig)在1904年声称证明了连续统假设的否定命题时，康托感觉自己的理论受到了挑战。好在这一证明很快就被发现是错误的。第一个在连续统问题上取得进展的是哥德尔。受到罗素类型论思想的启发，哥德尔为集合论的公理系统ZFC构造了一个模型L，L的元素称为可构成集。可构成集模型是一个分层的结构，其中每一层都是由前面层谱的可定义子集得到的。哥德尔证明除了集合论已有的公理都在L中成立外，“可构成公理(V=L)”，即所有集合都是可构成的，在L中也成立，而这一公理蕴涵连续统假设，因此CH也在L中成立。用数理逻辑的术语说，哥德尔的结果表明：如果ZFC是一致的，则ZFC+CH也是一致的。因此，我们不能期望从ZFC证明CH是假的。哥德尔构造集合论模型的方法是从全类V出发，L是对V的限制。L包含了所有的序数（因此它是一个真类），它在“高度”上与V是一致的，只是它比V显得更“细”。现在一般把包含所有序数的传递类称为“内模型”。L是所有内模型中最小的一个。1963年，科恩利用他发明的力迫法证明：如果ZFC是一致的，则ZFC+CH也是一致的，我们也不能期望从ZFC证明CH是真的。与哥德尔的内模型方法不同，科恩的方法是一种“外模型”，即模型扩张的方法。他从ZFC的一个可数传递模型M出发。根据洛文海姆—司寇仑定理，如果ZFC一致，这样的模型一定存在。利用M中某个恰当的偏序集(P，)和它上面的“脱殊滤”G，科恩能够构造一个新的可数传递模型M[G]，M[G]是M的扩张。通过调整偏序集的性质，我们可以“迫使”一些命题，例如，在M[G]中真。力迫是一种强有力的方法。利用它可以构造集合论的脱殊模型，在其中，连续统的基数可以是。①事实上，除了象寇尼希定理这样的限制外，连续统的基数几乎可以是任何无穷基数。②1970年，伊斯顿(WilliamBigelowEaston)证明...