第十七章勾股定理专题训练(一)利用勾股定理解决问题类型之一利用勾股定理解决平面图形问题图1－ZT－11．如图1－ZT－1，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于________．2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝4，有一个内角为60°，P是直线AB上不同于A，B的一点，且∠ACP＝30°，求PB的长．类型之二利用勾股定理解决立体图形问题3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图1－ZT－2所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．图1－ZT－21图1－ZT－34．如图1－ZT－3，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度为________cm.类型之三利用勾股定理解决折叠问题5．如图1－ZT－4(1)是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图(2)，再将(2)沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图(3)，则折痕DE的长为()图1－ZT－4A.cmB．2cmC．2cmD．3cm图1－ZT－56．如图1－ZT－5，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为________．类型之四利用勾股定理解决实际问题7．如图1－ZT－6，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A市受这次台风的影响，那么受台风影响的时间有多长？2图1－ZT－63详解详析1．82．解：若∠ACB为60°，当点P在线段AB上时(如图①)，由直角三角形的性质得BC＝2AC，PC＝2AP，由勾股定理，得AB＝＝＝2.再设AP＝x，∵∠PCB＝∠ACB－∠ACP＝60°－30°＝30°，∠B＝90°－60°＝30°，∴∠PCB＝∠PBC，∴PC＝PB，则有PB＝2x＝AB＝；当点P在线段AB外时(如图②)，可得PB＝；若∠ABC为60°，当点P在直线AB上时(如图③)，可得PB＝4.因此PB的长为或或4.3．25[解析]把这个圆柱平均分成5段，将其中一段沿一条母线剪开，展开得到一个长方形，一条边(即这段圆柱的高)长4尺，另一条边长3尺，因此这一段葛藤长＝5(尺)．故葛藤的总长为5×5＝25(尺)．4．7[解析]杯子内的筷子长度为＝13(cm)，则筷子露在杯子外面的长度为20－13＝7(cm)．5．A[解析]在Rt△DC′E中，设DE＝x，则DE＝AE＝x，AC′＝AB－BC′＝AB－BC＝4，所以EC′＝4－x.在Rt△AC′D中，∠A＝30°，由勾股定理得DC′＝，在Rt△DEC′中，根据勾股定理，得DE2－EC′2＝DC′2，即x2－(4－x)2＝()2，解得x＝.6.[解析]BC＝＝4.由折叠的性质，得BE＝B′E，AB＝AB′.设BE＝x，则B′E＝x，CE＝4－x，B′C＝AC－AB′＝AC－AB＝2.在Rt△B′EC中，B′E2＋B′C2＝EC2，即x2＋22＝(4－x)2，解得x＝.7．解：(1)过点A作AC⊥BF于点C，则AC＝AB＝150千米<200千米，∴A市会受到台风的影响．(2)以点A为圆心，200千米为半径画弧，交BF于点D，E，则CE＝CD＝＝＝50(千米)，∴A市受台风影响的时间为＝10(时)．4