2.3函数的连续性§2.3.1§在函数)y?f(x处的连续性x0教学重点函数连续的概念；教学难点分析函数在某一点处的连续性课时安排课时2教学过程［新课导入］如水的连这方面实例可以举出很多，连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，、动植物的生长等等随着时间的变化而连续变化；续流动、身高的连续增长、气温的变化所有这些连续变化的现象的抽象就产生连续函数几何学上，一笔画出的的曲线也是连续的。的概念。本节讨论连续函数的有关问题。（或连续函数）的图形是一条不断裂的曲线（直线可以先告诉大家，具有连续性的函数也看成是特殊的曲线）函数函数的连续包括在一点连续和在区间连续两种情况。今天我们讲第一种情况—x)y?f(x处的连续性。在0［新课教学］x)xfy?(.一函数在处的连续性定义0xx?下面我们来看几个图，并观察以下，它在处的连续情况：0那么满足什么样的条件我们说函数连续呢？x?x)xf(处连续必须满足下面三个条件：在点一般地，函数0(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；limf(x)x?x)y?f(x存在；点的极限(2)函数0x?x0limf(x)?f(x)(3)0x?x0xxy?f(x)y?f(x)的处连续则称，点连续点叫做函数。在点00我们再来观察几个图，说出函数在x=a处是否连续：略二。例题讲解1x?1?x)f(limf(x)也不存在。1例，在处的图像是断裂的。无定义，2)x(1?1x??x?1x?1?，????x?1?fx处的图像是连续的吗?在例2x?2,?x?1?2，?答案是否定的。有定义，limf(x)?lim(x?1)?2,?0?01?x?1x5xlimf(x)?lim(?2)?220??01x?1x?limf(x)不存在。因此x?12??1x,x?1?1?xx?1处的图像是断裂的；有定义，并且例3在??1,x?1?2?x1limf(x)?lim?2但limf(x)?f(1)x?1x?11x?x?131?xxxf()?处的图像是连续的；有定义，，在4例3(1)fx)??1并且limf(limf(x)?limx并且1??1xx?1x三.课堂练习x?21x?(x)?2f处连续。证明函数在点1.x?2)xf(处有定义：）函数在证：因为（1lim2x?1?52）（x?2x?21?x)?2xf(处连续。所以函数在点1?xsin,x?o?x在x=0证明函数处连续。2.??00x??x?0)f(x处及左、右近旁有定义；证（1）函数在1?sin0limx）（2x0x?limf(x)?0,（3）x?0x?o)f(x处连续。在点所以函数1x?o?y处的连续性3.讨论函数在点x11x?ox?o??yy处不连续处没有定义，所以解：因为函数在点在点xxx?ox?of(x)?x在点左右连续，由定理1此函数在点处连续。所以：函数2?x?2(x??1)f(x)??4.(x??1)x?4?设x??1处连续性。，分析点x??1)xf(处有定义。在解：（1）函数23)?limf(x33?2?,limx?4?x)(2lim，所以??x??11?x??1x?f(?1)?limf(x)?33（）x??1x??1)(fx处连续。所以函数在点作业.四P30习题2-31、2、3?x?1x?1?，????x?1?xf处的图像是连续的吗在?x?2,?x?1?2，?答案是否定的。有定义，limf(x)?lim(x?1)?2,??00x?x?115xlimf(x)?lim(?2)?220??01x?1x?limf(x)不存在。因此x?12??1x,x?1?1x?b1?x）并且2-6（处的图像是断裂的；有定义，如图（2在）??1,x?1?2?x1limf(x)?lim?2但limf(x)?f(1)x?1x1?1xx?1?3c1x?x?xf()）（2-7处的图像是连续的；有定义，如图，在）3（．3(1)fx)??x1并且limf(limf(x)?lim并且1??1xx?1x1x?1?)f(xlimf(x)也不存在如图处的图像是断裂的。无定义，2-8（4），在2)x(1?1x?d）（小结一下，以上函数的图形分别属于下列四种情形：x?1x?1处不连续，如第4处没有定义，函数在个函数；（1）函数在x?1limf(x)的左、右极限存在，但两者不相等，即函数处有定义，且（2）函数在x?1x?1x?1处不连续，如第1处极限不存在，函数在个函数；在x?1x?1limf(x)?f(1)，函数函数在处极限存在，但处有定义，且函数在（3）x?1x?1处不连续，如第在2个函数；x?1x?1limf(x)limf(x)?f(1)，函存在，而且处有定义，并且在处（4）函数在x?1x?1x?1处连续，如第3个函数；数在由此引出函数在一点连续的定义：x?x)f(xy?处，如果满足函数点定义10x?x)(xy?f处及其左、右近旁有定义；点（1）函数0limf(x)x?x)(xy?f存在；2）函数点的极限（0x?x0limf(x)?f(x)）（30x?x0xxy?f(x)y?f(x)的叫做函数则称连续点处连续，点。在点00x?21x?f(x)?2处连续例在点1证明函数x?2)xf(处有定义：在证：因为（1）函数lim2x?1?52（）x?2x?21x?xf()?2处连续所以函数在点1?xsin,x?o?x2证明函数例??00x??x?0)(fx处及左、右近旁有定义...