www.100xuexi.com圣才学习网有理数及其运算技巧经验谈：有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确的理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙的选择简捷的算法，可以很好的提高思维的敏捷性。将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。内容综述：当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为一个既约分数。并且，有理数可以比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。要点讲解：§1、数轴与大小：两个有理数的大小由它们在数轴上对应点的位置关系来确定：对应点在右边的数总比对应点在左边的数大。★★例1观察图1中的数轴用字母a,b,c依次表示点A，B，C对应的数，试确定这三个数的大小关系。思路：由B点在A点右边，知b-a>0，而A，B都在原点左边，故ab>0，又c>0，这说明要比较的大小，只需比较分母ab,b-a,c的大小。解：因为C点在1的右边，所以c>1，因为A点在-1与之间，B点在与0之间，所以AB的距离大于而小于1，即由同样的理由有www.100xuexi.com圣才学习网www.100xuexi.com圣才学习网，。所以又ab>0,故从而有0<ab<b-a<c。所以★★例2：设a,b是两个有理数，且a<b,求证：.证明1： a<b,∴b>a,∴b-a>0.而∴∴证明2 ∴即∴又∴即故说明：由本例可知，任意两个不相等的有理数a,b之间存在一个有理数，由此可推知，任意两个有理数之间存在无限多个有理数。§2、符号与括号有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。★★★例3计算www.100xuexi.com圣才学习网www.100xuexi.com圣才学习网思路：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为-1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，......，分别配对的方式计算，就能得到一系列的-1。解：下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是个（-1）的和，即；当n为奇数时，上式是个（-1）的和，再加上最后一项，所以有说明：两种情况可以合并为：★★★★例4计算解法1原式解法2原式说明：以上两例说明妙添括号，有利于快速解题。§3、算对与算巧求的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。★★★★例5计算（1）；www.100xuexi.com圣才学习网www.100xuexi.com圣才学习网（2）；（3）解：（1）应用关系式来进行“拆项”。原式（2） …，∴原式=或者用下面的“错位相减法”求和。令，则将这两式错位相减得即www.100xuexi.com圣才学习网www.100xuexi.com圣才学习网再将这两式错位后式减去前式得∴；（3）考察第n项n（n+1）如何分析，仔细观察后会发现：∴原式=说明：分析和错位相减是有理数运算中常和的技巧，在解题中应注意总结归纳规律，力求灵活应用。★★★★★例6计算（1）；（2），思路与解：（1）直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，可设字母n=12346，那...