考点18直线与圆（1）【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2017镇江期末）圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的标准方程为________．【答案】(x－1)2＋(y＋4)2＝8【解析】解法1设圆心为(a，－4a)，则有r＝＝，解得a＝1，r＝2，则圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.解法2过点P(3，－2)且垂直于直线x＋y－1＝0的直线方程为x－y－5＝0，联立方程组解得则圆心坐标为(1，－4)，半径为r＝＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.2、(2017扬州期末）已知直线l：x＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，则弦AB的长度为________.【答案】2【解析】圆心C(0,0)到直线l的距离d＝＝1，由垂径定理得AB＝2＝2＝2，故弦AB的长度为2.3、(2019苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为________．【答案】(x－5)2＋(y－2)2＝17【解析】由圆心既的线段AB的垂直平分线上，又在直线x－2y－1＝0上，先求出圆心的坐标．线段AB的中点为M，斜率kAB＝1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，即x＋y＝7.由得圆心C(5，2)，半径r＝CA＝，圆C的方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17.因为圆的标准方程中有三个待定量，所以只要建立一个含三个方程的方程组．设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得所以圆的方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17.4、(2018苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2，－1)的圆C与直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上，则圆C的标准方程为________________．【答案】(x－1)2＋(y＋2)2＝2【解析】解法1(几何法)点A(2，－1)在直线x＋y＝1上，故点A是切点．过点A(2，－1)与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y＝3，由解得所以圆心C(1，－2)．又AC＝＝，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.解法2(方程法)由圆心在直线y＝－2x上，可设圆心为(a，－2a)，圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2(r>0)．要确定两个待定量a，r2的值，只需建立两个含a，r2的等式，建立方程组求解．由圆C过点A(2，－1)，且与直线x＋y＝1相切，得即解得所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.5、(2018镇江期末）已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为________．【答案】(x＋3)2＋(y＋3)2＝18【解析】由几何知识可知，圆心C在圆x2＋y2＋10x＋10y＝0的圆心与原点的连线y＝x上，又在OA的垂直平分线y＝－3上，所以C(－3，－3)，易得圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.6、(2018苏北四市期末）在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________．【答案】[－1，＋1]【解析】设圆C1上存在点P(x0，y0)满足题意，点P关于直线x－y＝0的对称点Q(y0，x0)，则故只需圆x2＋(y－1)2＝r2与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1有交点即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得－1≤r≤＋1.7（2017徐州六市联考）在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2,0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．【答案】4【解析】因为PT与圆x2＋y2＝1相切于点T，所以在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，∠OTP＝，从而∠OPT＝，PT＝，故直线PT的方程为x±y＋2＝0，因为直线PT截圆(x－a)2＋(y－)2＝3得弦长RS＝，设圆心到直线的距离为d，则d＝，又＝2，即d＝，即|a±3＋2|＝3，解得a＝－8，－2,4，因为a>0，所以a＝4.8、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组，表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为________．【答案】(x－1)2＋y2＝4【解析】首先由线性约束条件作出可行域，面积最大的圆C即为可行域三角形的内切圆(如图)，由对称性可知，圆C的圆心在x轴上，设半径为r，则圆心C(3－r，0)，且它与直线x－y＋3＝0相切，所以＝r，解得r＝2，所以面积最大的圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.9、(2018盐城三模）定义：点到直线的有向距离为．已知点,，直线过点，若圆上存在一点，使得三点到直线的有向距离之和为0...