专题10切线问题一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,,学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一大亮点.二、解题秘籍(一)三次函数的图象与性质三次函数的图象有六种,如图：图(1)图(2)图(3)图(4)对函数进行求导：是二次函数,原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数与的符号起决定性作用.当为正时,原函数的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、（6）三种情况.当时,二次方程有两相异实根,且在的两边的符号相反,故函数存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当时,二次方程有两相等实根,且在根的两边的符号相同,这时函数只存在驻点（但不是极值点）,函数的图象为上图中（1）、（2）两种,当时；方程无实根,的值恒为正（或负）,函数的图象为上图中的（5）、（6）两种.仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设f(m−x)+f(m+x)=2n,得[a(m−x)3+b(m−x)2+c(m−x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n整理得,(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2mc+2d)=2n.据多项式恒等对应系数相等,可得m=−b3a且n=am3+bm2+mc+d,从而三次函数是中心对称曲线,且由n=f(m)知其对称中心(m,f(m))仍然在曲图(5)图(6)线上.而m=−b3a是否具有特殊的意义？对函数f(x)进行两次求导,f''(x)=6ax+2b再令等于0,得x=−b3a,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足f''(m)=0的m正是函数拐点的横坐标,这一性质刚好与图象吻合.除此,三次函数的对称中心还有一个很少引起注意的性质---过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条.由于三次曲线都是中心对称曲线,因此,将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为f(x)=ax3+bx.若M（x1,y1）是三次曲线f(x)=ax3+bx上的任一点,设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0,y0）,则切线方程为y−y0=f'(x0)(x−x0),因点M上此切线上,故y1−y0=f'(x0)(x1−x0),又y0=ax03+bx0,y1=ax13+bx1,所以ax13+bx1−(ax03+bx0)=(3ax02+b)(x1−x0),整理得：(x0−x1)2(2x0+x1)=0,解得,x0=x1或x0=−x12.综上所述,当点M是对称中心即x1=0时,过点M作曲线的切线切点是惟一的,且为M,故只有一条切线；当点M不是对称中心即x1≠0时,过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线.由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．【例1】（2021届贵州省凯里市高三三模）已知函数,.（1）若是函数的极值点,求的值及的单调区间；（2）若函数在上有且仅有个零点,求在上的最大值.【分析】（1）由,得,解得,的单调增区间是和,单调减区间为.（2）,①当时,恒成立,在上单调递增,最多只有个零点,不符合条件.②当时,在上单调递减,最多只有个零点,不符合条件.③在上递减,在上递增,要使函数在区间上有且仅有个零点,必有即解得,当,即时,由的单调性可知,同理,当,即时,,在上的最大值(二)三次函数的零点1.若三次函数没有极值点,则有1个零点；2.三次函数有2个极值点,则时有1个零点；时有2个零点；时有3个零点.【例2】（2022届四川省内江市高三零模）已知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数有三个不同的零点、、,求的取值范围,并证明：．【分析】（1）①当时,,则在上单调递增,无递减区间；②当时,在上单调递减,在上单调递增（2）由（1）知函数f(x)有三个零点,则 在上单调递减,在上单调递增∴的极大值为,且极大值大于,极小值为 有三个不同的零点,∴解得,故的取值范围为．又 ,当时,有,当时,有．∴设,由零点存在性定理知．∴又 ∴,...