难点题型拔高练(四)1．已知函数f(x)＝－1－nlnx(m>0,0≤n≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则的取值范围为()A.B.C.D．解析：选Af′(x)＝－－＝－，当n＝0时，f′(x)＝－＜0，当0＜n≤e时，令f′(x)＝0，则x＝－＜0，所以函数f(x)在[1，e]上单调递减，由函数f(x)在区间[1，e]内有唯一零点，得即即或即又m＞0,0≤n≤e，所以(1)或(2)所以m，n满足的可行域如图(1)或图(2)中的阴影部分所示，则＝表示点(m，n)与点(－1，－2)所在直线的斜率，当m，n满足不等式组(1)时，的最大值在点(1，e)处取得，为＝＋1，当m，n满足不等式组(2)时，的最小值在A点处取得，根据得所以最小值为，故选A.2．已知P为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当AP＝PB时，△AOB的面积为2b，则双曲线C的实轴长为()A.B.C.D.解析：选A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由AP＝PB，得(x－x1，y－y1)＝(x2－x，y2－y)，则x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，所以－＝1.易知点A在直线y＝x上，点B在直线y＝－x上，则y1＝x1，y2＝－x2，所以－＝1，即b22－a22＝a2b2，化简可得a2＝x1x2.由渐近线的对称性可得sin∠AOB＝sin2∠AOx＝＝＝＝，所以△AOB的面积为|OA||OB|sin∠AOB＝××sin∠AOB＝××＝x1x2××＝a2××＝a2××＝ab＝2b，得a＝，所以双曲线C的实轴长为.3．已知数列{an}共16项，且a1＝1，a8＝4.记关于x的函数fn(x)＝x3－anx2＋(a－1)x，n∈N*.若x＝an＋1(1≤n≤15)是函数fn(x)的极值点，且曲线y＝f8(x)在点(a16，f8(a16))处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{an}的个数为________．解析：fn′(x)＝x2－2anx＋a－1＝[x－(an＋1)][x－(an－1)]，令fn′(x)＝0，得x＝an＋1或x＝an－1，所以an＋1＝an＋1或an－1＝an＋1(1≤n≤15)，所以|an＋1－an|＝1(1≤n≤15)，又f8′(x)＝x2－8x＋15，所以a－8a16＋15＝15，解得a16＝0或a16＝8，当a16＝0时，a8－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝3，得ai＋1－ai(1≤i≤7，i∈N*)的值有2个为－1,5个为1；由a16－a8＝(a9－a8)＋(a10－a9)＋…＋(a16－a15)＝－4，得ai＋1－ai(8≤i≤15，i∈N*)的值有6个为－1,2个为1.所以此时数列{an}的个数为CC＝588，同理可得当a16＝8时，数列{an}的个数为CC＝588.综上，数列{an}的个数为2CC＝1176.答案：11764．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆上的动点，△ABF1面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l′.若直线l′与直线l相交于点P，与直线x＝2相交于点Q，求的最小值．解：(1)由已知得e＝＝，即a2＝2c2.∵a2＝b2＋c2，∴b＝c.设B点的纵坐标为y0(y0≠0)，则S△ABF1＝(a－c)·|y0|≤(a－c)b＝，即(b－b)b＝－1，∴b＝1，a＝.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)可知F1(－1,0)，由题意知直线l的斜率不为0，故设直线l：x＝my－1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，Q(2，yQ)．联立，得消去x，得(m2＋2)y2－2my－1＝0，此时Δ＝8(m2＋1)＞0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－.由弦长公式，得|MN|＝|y1－y2|＝＝2·.又yP＝＝，∴xP＝myP－1＝，∴|PQ|＝|xP－2|＝·，∴＝＝·＝（＋）≥2，当且仅当＝，即m＝±1时等号成立，∴当m＝±1，即直线l的斜率为±1时，取得最小值2.5．已知函数f(x)＝xlnx＋ax＋1，a∈R.(1)当x＞0时，若关于x的不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；(2)当n∈N*时，证明：＜(ln2)2＋2＋…＋2＜.解：(1)由f(x)≥0，得xlnx＋ax＋1≥0(x＞0)，即－a≤lnx＋恒成立，即－a≤min.令F(x)＝lnx＋(x＞0)，则F′(x)＝－＝，∴函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴函数F(x)＝lnx＋的最小值为F(1)＝1，∴－a≤1，即a≥－1，∴a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)证明：∵为数列的前n项和，为数列的前n项和，∴只需证明＜2＜即可．由(1)知，当a＝－1时，xlnx－x＋1≥0，即lnx≥1－，令x＝＞1，得ln>1－＝，∴2＞2＞.现证明2＜，即2ln＜＝＝－.(*)现证明2lnx＜x－(x＞1)，构造函数G(x)＝x－－2lnx(x＞1)，则G′(x)＝1＋－＝＞0，∴函数G(x)在(1，＋∞)上是增函数，即G(x)＞G(1)＝0，即2lnx＜x－成立．令x＝，则(*)式成立．综上，得＜2＜.对数列，，分别求前n项和，得＜(ln2)2＋2＋…＋2＜.