第25卷第2期（总第158期）2007年2月系统工程Vol.25SystemsEngineeringFeb.,No.,2007文章编号：1001一4098(2007)02一0121一03一类经济对策模型中纳什均衡存在的充分条件周亚平，刘菲，陈波（中国科学技术大学管理学院，安徽合肥230026)摘要：应用压缩映象定理，证明了一类多人非合作对策纳什均衡存在性的两个充分条件，并由此得到了纳什均衡．点的迭代算法。这种迭代算法具有相当明显的实际意义，它是对实际对策过程的一个仿真。并且可以方便地通过局中人之间反应函数的性质估计收敛速度。关键词：非合作对策；纳什均衡；收敛性；最佳反应中图分类号：0225文献标识码：A1引言自冯诺伊曼、摩根斯顿、纳什等著名学者创立对策论以来，对策模型、尤其是非合作对策模型得到了越来越广泛的应用｛1.2〕。非合作对策均衡（又称纳什均衡，即每个参加对策的局中人都做出了相对其他局中人当前策略而言的最佳选择）是该对策的最终结果，有着重要的实际意义，在经济、管理等领域中的应用也越来越广仁卜5〕。然而，对许多非合作对策问题而言，纳什均衡的存在性、唯一性以及纳什均衡的求解是一个困难的问题。尽管从理论上说，多人非合作对策纳什均衡点的求解可以通过解一个n元方程组（即令每个局中人得失函数对其自身策略的偏导数等于零）来求得。但对于实际对策问题而言，由于得失函数往往是策略的一个比较复杂的函数，所以该方程组一般来说不是线性的。这样，该方程组解的存在性，唯一性往往就成了一个难题，必须考虑其它的迭代算法。本文应用压缩映象定理，给出一类多人非合作对策纳什均衡存在唯一性的两个充分条件以及相应的迭代算法，可以证明该纳什均衡是收敛的，并且能够进一步估计该算法的收敛速度。这种算法的另一个优点是它的实际意义非常明显，可以看作是对多人非合作对策过程的一种模拟。2基本模型设对策的局中人有n个，局中人为1,2，…，n，记局中人的集合为N?{1,2，…，川。对第i个局中人，其策略空间为X、，即第i个局中人的所有可能的策略x、的集合。记关为局中人i的偿付函数。一般地应该有关～关（x:,xZ，一x。）即每个局中人的得分除了受自己策略的影响外，还受到其他n一1个局中人策略的影响。记x=(x:,x:，…，x。）为n个局中人的一个策略组合，x表示了对策中的一个状态。为了突出第i个局中人的策略，记x?(x,x、＿)，其中xi一表示除了局中人i外的其余n一1个局中人的策略组Z、口0显然，所有对策的可能状态集合为X～且戈．X又i一1称为策略空间。每个偿付函数关实际上是X?R的一个映射。不失一般性，设每个局中人都试图使自己的偿付函数达到最大。对局中人i来说若已知了xi_（其实只要xi＿已经确定了即可），则当然他选择策略x广，使他的偿付函数关（xi,xi_）达到最大。即对任意x万〔X'，都有不等式关（x厂，x、一））关（x、，x:_)(1)显然x广是x'＿的函数（n一1元函数）。记r,(xi一）二x厂＝x厂（xi一）(2)称r,(xi一）为局中人i对其他n一l个局中人的策略组合xi＿的最佳反应。如果一个多人策略组合x'=(xl',x夕，…，x二）满足条＊收稿日期：2006一10一26荃金项目：安徽省自然科学基金资助项目（。50460405)作者简介：周亚平（1963一），男，中国科学技术大学管理科学系副教授，博士，研究方向：排队网络性能指标灵敏度仿真估计及优化，决策分析与经济对策等；刘菲（1980一），男，湖南常德人，中国科学技术大学管理科学系研究生，研究方向；排队网络性能指标灵敏度仿真估计及优化，决策分析与经济对策等；陈波（198压），男，中国科学技术大学管理科学系研究生，研究方向：排队网络性能指标灵敏度仿真估计及优化．决策分析与经济对策等。122系统工程2007年件：x厂＝r、（x二）(i=1,2，…，n）。即每个局中人所取的策略都已是其它n一1个局中人策略组合的最佳反应，则称x.=(x厂，x犷，·，',x厂）为此多人对策的一个纳什均衡困。也就是说，纳什均衡点具有这样的性质，任何一个局中人如果单独改变他的策略都不能使其偿付函数得到增加（尽管有可能同时改变策略能使每人的偿付函数都得到增加）。如果每个局中人的策略x、都可用一个实数来表示，则策略空间X=r。3稳定均衡条件及其求解算法从理...