分式不等式与绝对值不等式分式不等式的解法：求解分式不等式ax+bcx+d>0，等价于要求分子分母同号，即或{ax+b<0¿¿¿¿，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解.题型一、简单的分式不等式【例1】解下列不等式：分式不等式知识一(1)x+12x−1<0；(2)1−x3x+5≥0；(3)x−1x+2>1.【答案】(1)(−1，12);(2)(−53，1];(3)(−∞，−2).【解析】(1)原不等式等价于x+1与2x-1异号，也就是(x＋1)(2x－1)<0，所以−1<x<12，故原不等式的解集为(−1，12).(2)原不等式可化为x−13x+5≤0，另外，要使原不等式左端的分式有意义，要求3x+5≠0.于是，原不等式等价地转化为{(x−1)(3x+5)≤0¿¿¿¿，即{−53≤x≤1¿¿¿¿.故原不等式的解集为(−53，1].(3)移项并整理，可将原不等式可化为−3x+2>0，则x<－2.故原不等式的解集为(−∞，−2)．方法总结：分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【例2】(2020年上海高一必修1教材练习）解下列不等式：（1）x+5x2+2x+3≤1；（2）x−1x2−4x+5>1；（3）4−xx2+x+1≤−1.【答案】(1)(−∞，−2]∪[1，+∞);(2)(2,3);(3)Ø.【解析】（1）由于对于所有实数x，都有x2+2x+3=(x+1)2+2>0.在原不等式两边同时乘x2+2x+3，可将原不等式等价地转化为x+5≤x2+2x+3.移项整理得x2+x-2≥0,即(x-1)(x+2)≥0.所以，原不等式的解集为(−∞，−2]∪[1，+∞).(2)由于对于所有实数x，都有x2-4x+5=(x-2)2+1>0.在原不等式两边同时乘x2-4x+5，可将原不等式等价地转化为x-1>x2-4x+5.移项整理得x2-5x+6<0,即(x-2)(x-3)<0.所以，原不等式的解集为(2,3).(3)由于对于所有实数x，都有x2+x+1=(x+12)2+34>0.在原不等式两边同时乘x2+x+1，可将原不等式等价地转化为4-x≤-(x2+x+1).移项整理得x2+5≤0,不等式无解.所以，原不等式的解集为Ø.【例3】（2020年上海华东师范大学附属东昌中学高一课时练习）解不等式（组）（1）（2）【答案】(1);(2).【解析】(1)原不等式可转化为x(x+1)(x+2)≤0,且x≠0，根据数轴标根法，标根所以，原不等式的解集为.(2)原不等式组可化为{(x−4)(x−2)>0¿¿¿¿，即{(x−4)(x−2)>0¿¿¿¿，解得{x>4x或<2¿¿¿¿所以，原不等式的解集为.题型二、含参数的分式不等式【例4】关于x的不等式x−ax2+x+1>x−bx2−x+1的解集是{x|12<x<1},求a,b的值.【答案】a=4,b=2.【解析】(注意多种解法）因为x2+x+1=(x+12)2+34>0,x2-x+1=(x−12)2+34>0,所以原不等式等价于(x-a)(x2-x+1)>(x-b)(x2+x+1).整理得(a-b+2)x2-(a+b)x+a-b<0.①由已知可得当x∈{x|12<x<1}时,(x-12)(x-1)<0.即2x2-3x+1<0,②比较①②可知a−b+22=a+b3=a−b1.故a=4,b=2.举一反三1.不等式x−1x+2<0的解集为()A.{x|x>1}B.{x|x<-2}C.{x|-2<x<1}D.{x|x>1或x<-2}【答案】C【解析】原不等式等价于(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1.故选C.2.(2020·上海交大附中高三模拟)下列不等式中,与不等式x−32−x≥0同解的是()A.(x-3)(2-x)≥0B.(x-3)(2-x)>0C.2−xx−3≥0D.3−xx−2≥0【答案】D【解析】不等式x−32−x≥0等价为x−32−x=−(3−x)−(x−2)=3−xx−2≥0,故选D.3.解下列不等式：(1)2x−5x+4<0；(2)x+12x−3≤1.（3）4−xx2+x+1≤−1.【答案】(1)(−4，52);(2)(−∞，32)∪[4，+∞)；(3)Ø.【解析】(1)原不等式可转化为(2x－5)(x＋4)<0，即－4<x<52，所以，原不等式的解集为(−4，52).(2)移项并整理，可将原不等式可化为−x+42x−3≤0，另外，要使原不等式左端的分式有意义，要求2x-3≠0.于是，原不等式等价地转化为{(x−4)(2x−3)≥0¿¿¿¿，即{x≥4x或<32¿¿¿¿.故原不等式的解集为(−∞，32)∪[4，+∞).(3)由于对于所有实数x，都有x2+x+1=(x+12)2+34>0.在原不等式两边同时乘x2+x+1，可将原不等式等价地转化为4-x≤-(x2+x+1).移项整理得x2+5≤0,不等式无解.所以，原不等式的解集为Ø.4.解不等式...