2009年11月安庆师范学院学报(自然科学版)JournalofAnqingTeachersCollege(NaturalScienceEdition)Nov.2009Vol.15No.4第15卷第4期张海,(安庆师范学院)摘要:,给出了一阶常微分方程各类积分存在的充要条件,;充要条件:O175文献标识码:A:1007-4260(2009)04-0082-030引言恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程[1-6]。如果能将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程,则求其通解将变得简单。为此本文寻求微分方程各类积分因子,化微分方程为恰当方程求解,这样给解题带来很大的方便。1各种形式积分因子存在的充要条件定义[1]对于一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)=0如果存在连续可微的函数μ=μ(x,y)≠0,使得μ为一恰当微分方程,即存在函数U,使Mdx+Ndy=dU则称μ(x,y)为方程的积分因子。引理1[1]函数μ(x,y)为方程(1)的积分因子的充要条件是=yx(1)(2)(3)(4)积分因子的形式各异,以致积分因子存在的充要条件将形式各异。下面给出不同形式的积分因子存在的充要条件。结论1[1]方程(1)有只与x有关的积分因子的充要条件是μ=exp(<(x)dx)。结论2[1]方程(1)有只与y有关的积分因子的充要条件是-μ=exp(φ(x)dy)。结论3方程(1)有形如μ(x+y)的积分因子的充要条件是μ=exp(f(x+y)d(x+y))。证明令x+y=u,则==,假设μ(x+y)为方程(1)的积分因子,则由引理1有充要条件=duxyyN-MN・()-=<(x),且积分因子为yx∫∫∫M・()-=φ(x),且积分因子为yx・()-=f(x+y),且积分因子为yx)(),所以μ・(-=N-M=N-M=N-M),所以,=・(-du,当μxyxxyuuuN-Myx且仅当(N-M・()-=f(x+y)时可以解出μ,故方程(1)有形如μ(x+y)的积分因子的充要条件是・yxN-M)-=f(x+y)。yx3收稿日期:2009-05-25基金项目:安徽省教育厅自然科学研究基金项目(KJ2008B152,KJ2009B098)资助。作者简介:张海,男,安徽桐城人,安庆师范学院数学与计算科学学院讲师,在读博士。第4期张海,谢秀娟:一阶常微分方程积分因子存在性条件结论4方程(1)有形如μ(x-y)的积分因子的充要条件是μ=exp(f(x-y)d(x-y))。证明类似结论3的证明。结论5方程(1)有形如μ(x-y)的积分因子的充要条件是μ=exp(f(xy)d(xy))。Ny-Mx・83・N-M・()-=f(x-y),且积分因子yx∫∫・()-=f(xy),且积分因子yx证明xy=v,则=v=y,=v=x,假设μ(x,y()的积分因子,xdvxdvydvydv则有充要条件以,)=,所以μ(-=N-y-y-Mx),所yxyxxdvdv))((=・-・dv,当且仅当-(μ,故方程(1)有形如μ(xy)μNy-MxyxNy-y的积分因子的充要条件是)=)即可得积分因子μ=exp(f(xy)d(xy))。x∫结论)xa+yb)的积分因子的充要条件是分因子μ=exp(f(xa+yb)d(xa+yb))。证明令xa+yb=u,则因子,则由引理1有充要条件:从而,Naxa-1-Mbyb-1・()-=f(xa+yb),且有积yx∫==axa-1,==byb-1,假设μ(xa+yb)是方程(1)的积分xduxduyduydu)=,所以,μ・(-=N-M=(Naxa-1-Mbyb-1)yxyxxydu)=(Naxa-1-Mbyb-1)-1・(-=f(u)时,可以解出μ,得方程(1)有形如μ(xa+yb)的积分因子的充要μyxNaxa-1条件是-Mbyb-1・()-=f(xa+yb),即可得积分因子μ=exp(f(xa+yb)d(xa+yb))。yx∫结论7方程(1)有形如μ(mxa+nyb)的积分因子的充要条件是Nmaxa-1-Mnbyb-1(・)-=f(mxa+nyb),yx且积分因子μ=exp(f(mxa+nyb)d(mxa+nyb))。证明类似结论3的证明。结论8方程(1)有形如μ(xαyβ)的积分因子的充要条件是因子μ=exp(g(xαyβ)d(xαyβ))。证明令xαyβ=v,则有因子,则由引理有充要条件:x(α-1β-1∫xα-1β-1y)αβ・(-=g(xy),且积分(αyxyN-βxM)∫αβαβαβ==αx-1y,==βxy-1,假设μ(xy)是方程(1)的积分xdvxdvydvydv)(αα-1ββxαyβ-1)==,所以,μ・(-=N-M=Nxy-Myxyxxydvy(Nαy-Mβx)αβαy-Mβx)]-1・(-)dv,当且仅当[α-1yβ-1(Nαy-Mβx)]-1・,所以,=[x-1y-1(Nμdvyx)-=g(v)时可以解出μ。故方程(1)有形如μ(xαyβ)的积分因子的充要条件是α-1β-1・(-αy-Mβx)yxyxy(N)αβαβαβ=g(xy),即可得积分因子μ=exp(g(xy)d(xy))。x∫结论9方程(1)有形如μ(mx+hxy+nyb)的积分因子的充要条件是Nmaxa-1ααβ-Mnbyb-1+hxα-1β-1y(αyN-βxM)・()ααβ-=φ(mx+hxy+nyb),且积分因子yxμ=exp(φ(mxα+hxαyβ+nyb)d(mxα+hxαyβ+nyb))。证明令...