河北大学学掖(令秋科学版)JournalofHebeiUniversity(NaturalScienceEdition)一类具有连续偏差变元的二阶半线性微分方程的振动准则王培光[，唐楠2,高春霞I(1•河北大学电子佰息工程学院，河北保定071002;2.河北大学数学与计算机学院，河北保定071002)摘要：考虑了一类具有连续偏差变元的二阶半线性微分方程，利用积分变换和广义Riccati变换，给出了此类方程的振动准则.关键词：连续偏差变元;二阶半线性微分方程；振动性；广义Riccati变换中图分类号：0175.8文献标识码：A文章编号:1000-1565(2005)06-0574-06近年来，具有连续偏差变元的微分方程解的振动性问题引起了广泛关注.文献[1-4]分别讨论了二阶非线性方程和具有阻尼项的方程解的振动性问题•我们注意到，二阶半线性方程解的振动性问题目前已有较多研究成果，可参见文献[5-9]及其相关的参考文献.但对于具有连续偏差变元的二阶半线性微分方程的结果未见相关文献报道.考虑具有连续偏差变元的二阶半线性微分方程rb[Iz'(/)(“龙‘仃)]'+q(£,W)I工|E«r[g(Z,W)]d(r(E)=0,/$%(1)Ja其中q(t,g)WC([%,8)X[a,6],R+),R+=[0,8),且q(z,£)最终不恒为零；g(/,g)GC([f0»°°)x[a,b],R),g(£,[a』],g(/,W)关于t分别是非减的，且limminIg(/»f)l=°°；a>0为L8居常数;a(e)eC([a,b],R),关于w非减，且(1)中的积分是Stieltjes积分.本文的主要目的是通过引入参数函数H(/,s)及〃&,s),利用积分平均技巧，建立方程(1)的一系列振动准则•方程(1)的非平凡解称为振动的，如果它具有任意大的零点；否则称为非振动的.方程(1)称为振动的，如果它的每个解均振动.首先给出如下引理.引理1〔9】如果X,Y是非负数，那么X9+(q-l)Yq-qXY「0O,q>1,等号成立当且仅当X=Y.1主要结果定理1若缶仃心)存在；并且存在函数H(t,s)eC(D,R)“Q,s)GC(Do，R+),p")GC‘(Ho,8)；(0,8))；其中D=1(/,5)Iz>5>zol»^o={(t,S)It>$工;满足以下条件收積日期：2004-12-10墓金项目：教育部留学回国人员基金资助项目(48371109);河北省自然科学基金资助项0(A200400089)作者简介：王培光(1963-),男，河北大学教授博士、博士生导师，主要从事微分方程领域的研究.Vol.25No-6Nov.2005第25卷第6期2005年11月H(t9t)=0,£孑如妲令>0,(/,$)GDo,A(f,s)=-型3-叫,$)%^,(川)WDo.ds如果limsup」H“)d讥)-卅常(m)rw(5)H(z,s)dsWds.H(GT)W(T)+j^H(Z,s)<o(s)jq($,g)cLr(W)dsWIA(Z,5)W(5)Idj-ITJT,s)g'(s,a)Iu?($)d$v_Iu/(£)]_a+1vA=FyK-11/^xl、q—,Y=利用引理1,可以得到p(«)jq(t,£)Ix[g(G$)],^)1d<r(E)3Q)=3(/)-ow(/)T[g(/,a)]g"Q,a)vQ'Q)“,(^)7p(l)不等式两边同乘以H(/,s),对s从T到/积分丁冋仏$貰)£卫(Cds-,s)p(5)jq(s,g)d(x(f)ds-pgH(/,$)g'(s,a)Is($)I"""JT1x[g(z,a)]Q($)注意到Ix[g(/,a)]ltf_1x[g(z,a)]“JT(-七严*畀'(s)H(/,s)ds=-H(z,T)w(T)-J^w(s)出则方程(i)振动.证明假设不然，令x(/)是(1)的非振动解，工仃)H0U>如不失一般性，可设x(t)最终为正，即jc(t)>0,£M如(工(/)<0时同理可证)根据limminlg(z)1=00可知，存在T°二切，使得工()>£O,x[g(z,$)]>0,/>T0,f€[a9b].r-«.f€[a.6】由方程(l),[l工‘仃)l"F“)]'W0,即I")f⑷是递减的，且")最终符号确定•若存在T。,使得xz(T)<0.由0$(lx{t)得工"(/)=0,即存在"二T,使得F(“)<0,且对不等式从一到/积分得工仃)=工由此推出limx(z)=-8,与工仃)>OU>ZO矛盾•因此存在T>T0，使得工‘仃)〉0,工"(/)=0,£二T,J—•8即珂门非减(汀非增.由Ix(t)|1工仃)非减且关于g非减，$€[a,6],于是有I工[g(“a)]l°G[g(z,a)]Wl工[g(£,W)]la_1x[g(^♦$)].再由才'(/)非增9g(t9f)[a,6],g(f,£)关于W非减，可知才'(上)VF[g(/,E)]WF[g(—a)]・令W(')Ix[g(z,a)]1*7工[g(“a)]‘微分(5)式并利用(1)式，可得IXZ(/)I由(6),(7)2式可知时[阳,讪曲(虫血⑹-卅册怜]・对于则有lJH(Z，i)P(S)bU，$)"⑷-(°+幣监,；饥4)］」d$=1。(八$)P($)［g($，F)d。⑹-(a+3：?d：］g''(s,a)］Jdsp(s)jq(s,£)dff(^)ds+H(zUo)w(T),于是t>Zo时呻沢誌贰［叫讪心(讥)"⑷-(。盘昭鳥::小］击<fp(j)fq(s,£)da(f)ds+w(T)<8.JfoJa与(4)矛盾，从而定理1得证.从定理1中，若取p(5)三1,可以得到以下推论.推理1若磊gQ,a)...