沈阳市三十一中学高三（20届）第二次联考高三年级数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集，，，则（）A.B.C.D.2.，互为共轭复数，且，则（）A.2B.C.1D.43.是表示空气量的指数，的值越小、表明空气量质量越好，当的值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地3月1日到12日的值的统计数据，图中点表示3月1日的的值为201.则下列叙述不正确的是（）A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是3月9日C.这12天的的值的中位数是90.5D.从3月4日到9日，空气质量越来越好4.下列说法中，正确的是（）A.命题“若，则”的逆命题为真命题B.命题“存在，”的否定是“对任意的，”C.命题“或”为真命题，则命题和命题均为真命题D.已知，则“”是“”的充分不必要条件5.已知，，满足，则（）A.B.C.D.6.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）A.B.C.D.7.已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影为（）A.B.C.2D.8.函数的图象的一个对称中心的坐标是（）A.B.C.D.9.我国古代数学家赵爽所著的《周髀算经注》中给出了勾股定理的绝妙证明，如图所示是赵爽的弦图，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色、黄色，其面积称为朱实、黄实，利用，化简得，设其中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉大约为（）A.866B.500C.300D.13410.已知函数的图像在点处的切线方程为：，若函数满足（其中为函数的定义域），当时，恒成立，则称为函数的“转折点”.已知函数在区间上存在一个“转折点”，则的取值范围是（）A.B.C.D.11.在中，角，，所对的边分别是，，，且，若，则的值为（）A.B.C.-3D.312.如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心，且，设点，分别为线段，上的动点，已知当取最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中的的系数为__________.14.已知实数，满足，则的取值范围是__________.15.在棱长为6的正方形中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为__________.16.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知数列是等比数列，为数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，且为递增数列，若，求证：.18.在五边形中，，，，，（如图1）.将沿折起，使平面平面，线段的中点为（如图2）.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.19.的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.20.某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种特产水果只能在9月份销售，且该种特产水果当天食用口感最好，隔天食用口感较差.某超市每年9月份都销售该种特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每千克8元，销售价每千克12元，当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每千克只能卖到5元.根据往年销售经验，每天需求量与当地最高气温（单位：）有一定关系.若最高气温不低于30，则需求量为5000千克；若最高气温位于，则需求量为3500千克；若最高气温低于25，则需求量为2000千克.为了制订今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数414362115以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求今年9月份这种特产水果一天需求量（单位：千克）的分布列和数学期望；（2）设9月份一天销售这种特产水果的利润为（单位：元），当9月份这种特产水果一天的进货量（单位：千克）为多少时，的数学期望达到最大值，最大值为多少？21.已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点？并说明理由；（2）若当时恒成立，求整数的...