高中数学必修四3.1nbsp;两角和与差的三角函数nbsp;小结导学案3.1两角和与差的三角函数小结【学习目标】1.熟练掌握和应用两角和的三角函数公式；2.初步学会进行有关三角函数的化简、求值和证明。【新知自学】知识梳理：1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(αβ)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝tanα±tanβ1tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.感悟：1．拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β.2.三个变换(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．对点练习：1．已知tanα＋π4＝3，则tanα的值为()．A．12B．－12C．14D．－142．sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()．A．－32B．－12C．12D．323．已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则cos(α－β)的值等于()．A．－12B．12C．－13D．23274．已知cosα＝35，α是第一象限角，则1＋2cos2α－π4sinα＋π2＝()．A．25B．75C．145D．－255．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.【合作探究】典例精析：考向一三角函数式的化简例1．(1)化简1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；(2)化简2sin280°.规律总结：(1)把角θ变为θ2入手，合理使用公式．(2)切化弦，通分，利用公式把非特殊角化为特殊角．变式练习1：化简下列各式：(1)12－1212＋12cos2αα∈3π2，2π＝________.(2)cos2α－sin2α2tanπ4－αcos2π4－α＝________.考向二三角函数的求值例2．(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．规律总结：(1)拆分角：α＋β2＝α－β2－α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.变式练习2：已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，(1)求tan2α的值；(2)求β.考向三三角变换的简单应用例3．已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4sinx－π4.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．规律总结：(1)化简f(x)，由tanα＝2代入求f(α)；(2)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，求f(x)的取值范围．变式练习3：【训练3】(2013石家庄质检)设函数f(x)＝sinπx3－π6－2cos2πx6.(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈时，函数y＝g(x)的最大值．【课堂小结】【当堂达标】1、sin20°cos20°cos50°＝()．A．2B．22C．2D．122．计算tanπ4＋αcos2α2cos2π4－α的值为()．A．－2B．2C．－1D．13．若tanπ4－θ＝3，则cos2θ1＋sin2θ＝()．A．3B．－3C．34D．－344．设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．5．已知sinα＝55，α∈0，π2，tanβ＝13.(1)求tanα的值；(2)求tan(α＋2β)的值．【课时作业】1．若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg1a，且α＋β＝π4，则实数a的值为()．A．1B．110C．1或110D．1或102．若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2等于()．A．33B．－33C．539D．－693．已知cosπ4－α＝1213，且α∈0，π4，则cos2αsinπ4＋α＝________.4．方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a2)的两根为tanA，tanB，且A，B∈－π2，π2，则A＋B＝________.5．已知函数f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝3210，求sin2α的值．6．已知sinα＋cosα＝355，α∈0，π4，sinβ－π4＝35，β∈π4，π2.(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．【延伸探究】已知函数f(x)＝Acosx4＋π6，x∈R，且fπ3＝2.(1)求A的值；(2)设α，β∈0，π2，f4α＋43π＝－3017，f4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．