专题跟踪检测（十一）立体几何中的向量方法1．(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．解：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.因为DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.(2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC的体积最大时，M为CD的中点．由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，AM＝(－2，1,1)，AB＝(0,2,0)，DA＝(2,0,0)，设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n＝(1,0,2)，又DA是平面MCD的一个法向量，所以cos〈n，DA〉＝＝，sin〈n，DA〉＝.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.2.(2018·唐山模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC.因为AB＝2AD＝2CD，所以AC＝BC＝AD＝CD，所以AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.又BC∩PC＝C，所以AC⊥平面PBC.因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.(2)如图，以C为坐标原点，CB，CA，CP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设CB＝2，CP＝2a(a＞0)．则C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)，P(0,0，2a)，则E(1,0，a)，CA＝(0,2,0)，CP＝(0,0,2a)，CE＝(1,0，a)，易知m＝(1,0,0)为平面PAC的一个法向量．设n＝(x，y，z)为平面EAC的法向量，则即取x＝a，则z＝－1，n＝(a,0，－1)．依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得a＝.于是n＝(，0，－1)，PA＝(0,2，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝＝.即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.3．(2018·西安质检)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3.(1)证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；(2)若∠BAD＝60°，求二面角BOB1C的余弦值．解：(1)证明： A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD.∴A1O⊥BD. 四边形ABCD是菱形，∴CO⊥BD. A1O∩CO＝O，∴BD⊥平面A1CO. BD⊂平面BB1D1D，∴平面A1CO⊥平面BB1D1D.(2) A1O⊥平面ABCD，CO⊥BD，∴OB，OC，OA1两两垂直，以O为坐标原点，OB，OC，OA1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． AB＝2，AA1＝3，∠BAD＝60°，∴OB＝OD＝1，OA＝OC＝，OA1＝＝.则O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A(0，－，0)，A1(0,0，)，∴OB＝(1,0,0)，BB1＝AA1＝(0，，)，OB1＝OB＋BB1＝(1，，)，OC＝(0，，0)．设平面OBB1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即令y1＝，得n＝(0，，－1)是平面OBB1的一个法向量．设平面OCB1的法向量m＝(x2，y2，z2)，则即令z2＝－1，得m＝(，0，－1)为平面OCB1的一个法向量，∴cos〈n，m〉＝＝＝，由图可知二面角BOB1C是锐二面角，∴二面角BOB1C的余弦值为.4．(2018·长春质检)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACE；(2)设PA＝1，∠ABC＝60°，三棱锥EACD的体积为，求二面角DAEC的余弦值．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE.在△PBD中，PE＝DE，BO＝DO，所以PB∥OE.又PB⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，所以PB∥平面ACE.(2)由题易知VPABCD＝2VPACD＝4VEACD＝，设菱形ABCD的边长为a，则VPABCD＝S▱ABCD·PA＝××1＝，解得a＝.取BC的中点为M，连接AM，则AM⊥AD.以点A为坐标原点，分别以AM，AD，AP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E，C，AE＝，AC＝，设n1＝(x，y，z)为平面AEC的法向量，则即取x＝1，则n1＝(1，－，3)为平面AEC的一个法向量．又易知平面AED的一个法向量为n2＝(1,0,0)，所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，由图易知二面角DAEC为锐二面...
