数列中由递推关系求数列的通项题型归类新教材明确指出：数列可以由其递推关系式及前几项给定。根据递推关系求解通项，除用计算----猜想----证明的思路外，通常还可以对某些递推关系式进行变换，从而转化成等差、等比数列或易于求出通项的数列的问题来解决。下面分类说明这些常见的递推关系的类型及其解法。a?a?d（其中d1类型一：是常数）n1n?a?a?da?a?(n?1)da显然，由｝是等差数列，则知｛1nn?1nna?aq（其中q是不为类型二：0的常数）2nn?1an?1n?1q?aq?aa显然，则知｛｝是等比数列，于是n1nana?a?f(n)，方法：叠加法：3类型三nn?1n1?aaa2?a?a.｝中，、在数列｛，且，求例11nnn1n?1n2??aa2a?a?得，解：由12n?1n22a?a?23…………1n?2a??a1nn?n?1?2?22n1n?12?22??2?......?2?aa??2由上面等式叠加得，1n1?2n12?a?故。na)?(a?fn，类型四4：方法：叠乘法n1?n2a?a?2)?na(naa.｝中，，且，求2例、在数列｛1n?n1nnaaaa5243n?3n?142????，，，，则有……解：由已知得，ana1a2a3321naaann?1n(n?1)n1n?n1?n???，则，这（）个等式叠乘得，，an?2an?1a1?21n??n21a?n(n?1)。n-1-a?pa?qp?0）类型五：方法：参数法，q是常数，且（其中p5n?1na?4)22(n?a?3a?aa.，且例3、已知数列｛｝满足，求11?nnnna?c?3(a?c)a?3a?2ca?3a?2，即解：引入参数c，令，与已知11nnnn?1n?n?a?1na?1?33?a为首项，3，即数列｛比较知c=1，于是有为公比的等比－1｝是以1na?11?nn?1n?311?3?3a?a?数列，则，故nna?pa?f(n)6类型六：nn?1?kn?bk?0)(nf）是常数，且（1）若方法：升降足标法（其中k,ba?1a?3a?2naa.｝中，，且满足4、在数列｛，求例1n?1nnna?3a?2na?3a?2(n?1)，两式相减得，解： ①，∴1nn?1n?na?a?3(a?a)?2b?a?ab?3b?2，利用类型五的方法知，，令，则1nnn?n?11?nnn?1nnn?1n?1?3?35?1?1a?ab?5?②，再利用类型三的方法知，，即n1nn?5151n?1?1n??3n??a?3?n?a?。；亦可联立①、②解出nn22221nr?10,rf(n)?（2）若（其中r是常数，且方法：两边同乘）1?nrn1?aaa3a?a?6.，求、在数列｛，且满足｝中，5例1nnn?1naa11n1n?n?2??3a?6a?，解：将已知的两边同乘，得n1n?n?1n1?n3333na121nb?b????2bb，利用类型五的方法知令，则，则nnn?1nn3333n6n?13?a?。n3qan?a（其中p，q是不为0的常数）方法：倒数法：7类型七1n?pan?q2aa?1naaa?，｝中，若6例.，求、数列｛1nn1n?2a?n-2-a?21112a11nn?????1a为首项，，即数列｛｝是以解： ，∴1n?2aa2aaaa?2nn?1nn1n1211a??)(n?1??1，即为公差的等差数列，则。n1n?22anran?a的结构时，仍可使用倒数法。变式：若类型七变为1n?pa?qn3ana?1a?aa，｝中，若.例7、在数列｛，求11n?nn2a?2n3a2a?221211nn?a????b?，∴，则，令解： 1?nn3a3aa32a?2ann?n1nn1222n?1a?)?b?b?2?(b，则，利用类型五知，。nnn?n123331?n)2?(3ra?a?p0?,ap?0）为常数，且：（其中p，r8类型八nnn?1方法：对数法23a?aa?aa.｝中，若，，求8例、在数列｛1nnn1n?223a?a?aa?a0?a为底的对数得，解：由，对知两边取以，31nn?1?1nnnaaaa1loglogloglog??2，则数列｛为首项，｝是以2为公比的等比数列，1nnn?133331n?a1n?n?12log?1?2?23a?则，。，即n3na?pa?qap?q?1）p9类型九：，q为常数，且（其中1n?1n?n方法：转化法a?8a?2a?4a?3a?0aa.，，且满足例9、数列｛｝中，若，求21nnn?2?1nna?4a?3a?0a?a?3(a?a)，则数列变形为解：把nnn?n2?nn?2?1n?11n?16?a?a?aa?3?6??aa?｝是以为首项，为公比的等比数列，则｛312n1n?n?n1n3?a?11。利用类型三的方法可得，n2qa??apa0q4??p（其中p变式：若结构变为）为常数，且满足，qn?n21?n方法：待定系数法-3-a?1a?50??a?5a6aaa.｝满足，且，求例10、已知数列｛，21n?1nn?2nn???????a?0)aa)a?(a??a?(a??，与已知解：令，即nn?1n?2?2?n1nn?1n?????253??????a?5a?6a?0比较，则有，故或???n?1nn?2?????362????????,3?2来运算（另一组同学们自己练习），即有下面我们取其中一组a?2a?3a?2a)aa?2a?3(a?2为首项，3，则数列｛｝是以为公比的12n1n??11nn?2n?nn?1nn3?2a?3a?2a?3?3a?，利用类型六（等比数列，故2）的方法，可得，即nn?n1n?1nn23?a?。nSa的关系给出与十类型十：递推关系由nnS(n?1)?1?a互化解决方法：运用?n...