第3节椭圆【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程1,3,12,13椭圆的几何性质2,4,5,6,8直线与椭圆的位置关系10,12,13与椭圆有关的综合问题7,9,11,14基础对点练(建议用时:25分钟)1.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△PF1F2的面积为(A)(A)4(B)6(C)2(D)4解析:因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=6,又因为|PF1|∶|PF2|=2∶1,所以|PF1|=4,|PF2|=2,又易知|F1F2|=2,显然|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,故△PF1F2为直角三角形,所以△PF1F2的面积为×2×4=4.故选A.2.(2018·湖北重点中学4月联考)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为(D)(A)(B)1(C)(D)解析:由椭圆的通径公式得|AB|==3,则=×2×3=3,又易得△ABF1的周长C=4a=8,则由=C·r可得r=,故选D.3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线交椭圆C于A,B两点,若△AF1B的周长为4,则椭圆C的方程为(A)(A)+=1(B)+y2=1(C)+=1(D)+=1解析:△AF1B的周长为4,所以4a=4,则a=,又离心率为,故=,所以c=1,b=,所以椭圆C的方程为+=1.选A.4.设直线x=与椭圆+=1(a>b>0)交于A,B两点,若△OAB是直角三角形,则椭圆的离心率为(C)(A)(B)(C)(D)解析:x=代入椭圆方程得y=±b,又△OAB为直角三角形,则b=⇒3(a2-c2)=a2⇒=,故选C.5.(2018·石家庄市质检)倾斜角为的直线经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,与椭圆交于A,B两点,且=2,则该椭圆的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题可知,直线的方程为y=x-c,与椭圆方程联立得所以(b2+a2)y2+2b2cy-b4=0,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则又=2,所以(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),所以-y1=2y2,可得所以=,所以e=,故选B.6.(2017·湖北荆州一模)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点P,使=e,则椭圆离心率的取值范围是.解析:因为=e,所以|PF1|=e|PF2|=e(2a-|PF1|).所以|PF1|=.因为a-c≤|PF1|≤a+c,所以a-c≤≤a+c.所以a(1-e)≤≤a(1+e).所以1-e≤≤1+e.解得e≥-1.所以-1≤e<1.答案:[-1,1)7.(2017·西安市一模)已知△ABC的顶点A(-3,0)和顶点B(3,0),顶点C在椭圆+=1上,则=.解析:由椭圆+=1知长轴长2a=10,短轴长2b=8,焦距2c=6,则顶点A,B为椭圆的两个焦点.如图△ABC中,|AB|=6,|BC|+|AC|=10,由正弦定理可知===2R,所以=,即=,则==3.答案:3能力提升练(建议用时:25分钟)8.(2017·怀化市四模)“神舟”五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行,实现了中国人民的航天梦想,某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆,地球在椭圆的一个焦点上,如图所示,假设航天员到地球的最近距离为d1,到地球的最远距离为d2,地球的半径为R,我们想象存在一个镜像地球,其中心在“神舟”飞船运行轨道的另外一个焦点上,若在此焦点上发射某种信号,需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到,则信号传导到地球人的最短距离为(D)(A)d1+d2+R(B)d2-d1+2R(C)d2+d1-2R(D)d1+d2解析:设椭圆的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c,两焦点分别为F1,F2,运行中的航天员为P,由已知得则2a=d1+d2+2R,最短距离为|PF1|+|PF2|-2R=2a-2R=d1+d2.故选D.9.(2017·广州一模)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是(A)(A)(,1)(B)(,1)(C)(0,)(D)(0,)解析:法一设P(x0,y0),则|x0|<a,又F1(-c,0),F2(c,0),且∠F1PF2为钝角,当且仅当·<0有解,即(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=(-c-x0)(c-x0)+<0,即有c2>+有解,即c2>(+)min.当+最小时|PO|=最小,此时点P为短轴端点,所以(+)min=b2,所以c2>b2,c2>a2-c2,所以>,即e>.又0<e<1,所以<e<1.故选A.法二由椭圆图形知,短轴端点对两焦点的张角∠F1BF2最大,需满足题意,这个张角的范围是(90°,180°),如图.当这个角为90°时,△F1BF2为等腰直角三角形,大于90°时,∠BF2O<45°,所以e==cos∠BF2O>cos45°=,结合e<1得<e<1.故选A.10.(2018·广州市普高综合测试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,直线y=x与C相交于A,B两点,且AF⊥BF,则C的离心率为(D)(A)(B)-1(C)(D)-1解析:法一由得到(3a2+b2)x2=a2b2,解得x=±,分别代入y=x,可得y=±,不妨令A(,),B(-,-),则=(-c-,-),=(...