2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定课时过关·能力提升基础巩固1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列线段不是平面ABCD的垂线的是()A.AA1B.BB1C.CC1D.AD1答案:D2.下面条件中,能判定直线l⊥α的是()A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内的无数条直线垂直C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内的任意一条直线垂直答案:D3.若一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的是()A.①③B.①②C.②④D.①④解析:三角形的两边,圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边,正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的是①③.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。答案:A4.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是()A.1B.2C.3D.6解析:仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直.答案:B5.已知直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则b与α所成的角等于()A.40°B.50°C.90°D.150°解析:根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.答案:B6.已知线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍,则AB所在的直线与平面α所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.120°解析:如图,AC⊥α,AB∩α=B,则BC是AB在平面α内的射影.因为BC=AB,所以∠ABC=60°,它是AB所在的直线与平面α所成的角.聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。答案:C7.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形且边长为3,BD1与底面所成角的正切值为,则该四棱柱的侧棱长等于.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。解析:由题意得tan∠DBD1=,因为BD=3,所以DD1=BD=×3=2.答案:28.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是.(形状)酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。解析:由于PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.答案:菱形9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PD⊥BC,PD=1,PC=.求证:PD⊥平面ABCD.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。证明 PD=DC=1,PC=,∴PD2+DC2=PC2,∴PD⊥CD. PD⊥BC,BC∩CD=C,且BC⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD.10.有一根旗杆高12m,在它的顶端处系两条长13m的绳子,拉紧绳子,并把它们的下端固定在地面上与旗杆底端不共线的两点处,测得这两点和旗杆底端相距5m,问能否由此断定旗杆与地面垂直,为什么?謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。解:能.如图,设地面为平面α,PO表示旗杆,PA,PB表示两条绳子,A,B,O三点不共线. PO=12m,PA=13m,OA=5m,∴PO2+OA2=PA2,∠POA=90°,即OP⊥OA.同理可证OP⊥OB. OA∩OB=O,OA⊂α,OB⊂α,∴PO⊥α.故由此能断定旗杆与地面垂直.能力提升1.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直且相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直解析:连接AC,因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。答案:C2.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的位置关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交解析:取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO.因为AO∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。答案:C★3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析:如图,连接BD交AC于点O,连接D1O,由于BB1∥DD1,所以DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角.易知∠DD1O即为所求.设正方体的棱长为1,则DD1=1,DO=,D1O=,所以cos∠DD1O=.所以BB...