必修5-第一章-正弦定理和余弦知识点及典型例题-定理．><正弦定理和余弦定理要点梳理cbaR2???CBsinsinAsin．正弦定理1三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形其中R是为：；sinB∶∶sinCc(1)a∶b∶＝sinA2RsinC；，(2)a＝2RsinA，b＝2RsinBc＝cba等形式，以解决不sinC＝＝(3)sinA＝，sinB，2R2R2R同的三角形问题．2．三角形面积公式11abc11b＋＝ABC＝absinC＝bcsinacsinB＝(a△S22224Rr.、Rr(rc)·是三角形内切圆的半径)，并可由此计算＋．余弦定理：3.2222222222abcosC＝a＋－cacb＋，－2bccosAb＝2accosB＋c－，ba＝余弦定理可以变形为：222c?a?b222ba?c?222ac?b?.＝cosA＝＝cosC，，cosB2ab2ac2bc4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：已知两边已知两角及任一边，求其它边或角；(2)(1)第页2及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：已已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)(1)知三边问题．基础自测2π.＝a1，在1．△ABC中，若b＝1c，＝3，C＝则3b，c的对边分别为a，，C．已知2△ABC的内角A，B，2若c＝2，b＝6，B＝120°，则a＝________.93．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝，10则BC＝4或5.4．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为(C)2A．22B．82C.2D.2题型分类深度剖析题型一利用正弦定理求解三角形第页3CbABABCa、，，在△例1＝45°.求角中，＝2＝3c.和边可利思维启迪已知两边及一边对角或已知两角及一边，用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．2ab3＝，＝，由正弦定理得:解sin45°AsinsinBAsin3120°.＝60°或A＝A∴sinA＝. a>b，∴2bsinC＝＝＝75°，cC60°时，＝180°－45°－60°A当＝sinB2＋6；2bsinC＝c＝120°＝15°，45°CA当＝120°时，＝180°－－sinB6－2.2探究提高(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应第页4引起注意．，AABC的三个内角变式训练1已知a，b，c分别是△?＝b＋＝3，AC＝2B，则A1B，C所对的边，若a＝，6πAsin由正弦定理知2B，∴B＝. 解析A＋C＝31Basin＝＝.b2利用余弦定理求解三角形题型二的对边，、b、c分别是角AB、C中，例2在△ABCa、Bcosb.且＝?Ccosc2a?的大小；（1）求角B的面积．＋c＝4，求△ABC(2)若ba＝13，b－＋c222a，＝由余弦定理知：cosB解(1)ac2cb＋－222abcosB＝－得：将上式代入cosC＝.Cabcos2c＋2a＋c－b222a2abb＝－，·ac2c－＋b222c＋a2a第页5ac－b－＋c222a＝B＝ac整理得：a＋c－b＝－.∴cos222ac22ac1＝－.22π.＝B B为三角形的内角，∴32222acccBbaabcos＝－，＝4(2)将＋＝13，＝＋2代入π322BbBacacac－2cos，得16，＝(∴＋)13－2＝－1313??BSacacac－1.＝2∴sin＝，∴＝3.??ABC△242??根据所给等式的结构特点利用余弦定理(1)探究提高将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思(2).想、方程思想在解题过程中的运用其所对ABCC为△的三个内角，2变式训练已知A、B、A，且.的边分别为、a、bc2+cosA=02cos2(2)若a23，b＋cA(1)求角的值；＝4，求△ABC第页6的面积．Acos0，即A，得1＋cosA＋cos＝A由解(1)2+cosA=02cos21＝－.2π2.＝< 0<Aπ，∴A3(2)由余弦定理得，π2ab＝＋c－2bccosA－bc，又b＝(＋c)a，A＝，则22222a3c＝4＝，23，b＋1＝，故S△ABC＝42－bc，则bc＝4有123.bcsinA＝2正、余弦定理的综合应用题型三、、、、△的对Bc分别是角例3.在AABC中，abC边22,Ba?b)si2(sinA?sin(C)?已知△外接圆半径为ABC2△ABC面积的最（2）求C（1）求角的大小；.大值△ABC外接圆半径为）（解:1 ，2第页722,a?b)sinB且22(sinA?sinC)?(：得定理∴由正弦22,sin(22sinC)B?(a?b)22即(22sinA)?即：理余弦定得由22222,??,ca?baab?ca?(?b)b222?cba??1ab??Ccos.?C???，，(0?),Cab232ab23）（23?S?max2在已知关系式中，若既含有边又含有角．通探究提高常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．所...