三角形全等的判定（三）人教义务几何【学习目标】1．能熟练地说出边边边公理．2．知道三角形的稳定性．3．能灵活地应用学过的各种判定方法判定两个三角形全等．【主体知识归纳】1．边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)．2．三角形的稳定性只要三角形三边的长度一定，这个三角形的形状大小就完全确定三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．【基础知识精讲】1．至此，已经学习了判定两个三角形全等的三个公理和一个定理，即“SAS”公理、“ASA”公理、“SSS”公理和“AAS”定理．2．值得注意的是，三个角对应相等，或两边和其中一边的对角对应相等时，不能判定这两个三角形全等．3．根据题目条件，同时结合所要证明的结论，选择适当的判定方法判定两个三角形全等是本节学习的难点．在探索证题途径时，常采用分析法和综合法相结合的“两头凑”的方法，即用“分析——综合法”．综合法是由因导果，即“由已知，看可知，逐步推出结论”；分析法是执果索因，即“从结论，找需知，逐步向条件靠拢”．而“分析——综合法”，一方面从要证的结论着眼，想想“需要”找到什么条件，另一方面从已知条件入手看看“可能”推出什么结论，当“需要”与“可能”相吻合时，证题途径也就找到了．【例题精讲】［例1］已知：如图3—87，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，AD＝A′D′．求证：△ABC≌△A′B′C′．图3—87剖析：欲证△ABC≌△A′B′C′，根据已知条件，AB＝A′B′，BC＝B′C′是△ABC和△A′B′C′的两组边对应相等，还缺一组条件，只需证∠B＝∠B′或AC＝A′C′；再分析已知条件．由BC＝B′C′，AD、A′D′分别是中线，可推出BD＝B′D′，结合已知AD＝A′D′，AB＝A′B′，又可推出△ABD≌△A′B′D′，从而∠B＝∠B′．这样条件与结论间的联系找到了，问题就可解决．以上的分析过程可用图表示如下：证明： AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，∴BD＝(中线的定义)， BC＝B′C′(已知)，∴BD＝B′D′．在△ABD和△A′B′D′中，∴△ABD≌△A′B′D′(SSS)．∴∠B＝∠B′(全等三角形的对应角相等)．在△ABC和△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．说明：本题实际上是证明了这样一个命题：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．［例2］求证：有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．剖析：这是一个证明文字叙述的几何命题的题目．做这类题，首先要分清题设、结论，画出图形，结合图形写出已知、求证，然后再证明．图3—88已知：如图3—88，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，AD、A′D′分别是BC和B′C′上的中线，且AD＝A′D′．求证：△ABC≌△A′B′C′．证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，再延长A′D′到E′，使D′E′＝A′D′，连结B′E′． AD＝A′D′，∴AE＝A′E′．在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB(SAS)．∴AC＝BE(全等三角形的对应边相等)，∠E＝∠2(全等三角形的对应角相等)．同理：A′C′＝B′E′，∠E′＝∠4． AC＝A′C′，∴BE＝B′E′(等量代换)．在△ABE和△A′B′E′中，∴△ABE≌△A′B′E′(SSS)．∴∠1＝∠3，∠E＝∠E′(全等三角形的对应角相等)．∴∠2＝∠4．∴∠BAC＝∠B′A′C′．在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．说明：关于三角形的中线问题，常考虑把中线加长一倍，构造全等三角形．这种“倍长中线”是一种常用的辅助线．［例3］如图3—89，已知AD＝BC，AB＝DC，DE＝BF，求证：BE＝DF．剖析：欲证BE＝DF，需证△ABE≌△CDF，要证这两个三角形全等．已经具备了两组条件，AB＝CD．AD＋DE＝CB＋BF即AE＝CF．只要再证∠A＝∠C即可．那么再观察∠A、∠C还是哪两个全等三角形的对应角．由条件AD＝CB，AB＝CD，很明显看出，若连结BD，那么△ABD与△CDB全等的条件已经具备，结论即可得证．证明：连结BD在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB(SSS)∴∠A＝∠C(全等三角形的对应角相等)． AD＝CB、DE＝BF(已知)，∴AD＋DE＝CB＋BF，即AE＝CF．在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△...