2.2复数的乘法与除法学习目标1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点一复数的乘法及其运算律思考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理(1)复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3知识点二共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数，z的共轭复数用表示．即当z＝a＋bi时，＝a－bi.知识点三复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，z2≠0)，则＝＝＋i(c＋di≠0)．1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．(√)2．两个共轭复数的和与积是实数．(√)3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(×)类型一复数代数形式的乘法运算例1(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝________.(2)已知复数z1＝(1＋i)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.答案(1)－3(2)4＋2i解析(1)由(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，可得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.(2)z1＝(1＋i)＝2－i.设z2＝a＋2i，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. z1·z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4，∴z2＝4＋2i.引申探究1．若本例(1)中复数(1＋2i)(a＋i)表示的点在第二象限，则a的取值范围是____________．答案解析(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，由题意知解得－<a<2.2．将本例(2)中“z1·z2是实数”改为“z1·z2是纯虚数”，求z2.解由例1(2)知，z1·z2＝(2a＋2)＋(4－a)i， z1·z2是纯虚数，∴解得a＝－1，∴z2＝－1＋2i.反思与感悟(1)两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.跟踪训练1(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．答案2解析因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以＝2.(2)已知复数z满足(z＋2)＝4＋3i，求z.解设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i，得解得或所以z＝－i或z＝－i.类型二复数代数形式的除法运算例2(1)已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是()A．MB．NC．PD．Q答案D解析由题图可知z＝3＋i.∴复数＝＝＝＝2－i表示的点是Q(2，－1)．故选D.(2)计算：①－；②＋－.解①方法一－＝＝＝＝2i.方法二－＝－＝i＋i＝2i.②原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＝8＋8－16－16i＝－16i.反思与感悟(1)两个复数代数形式的除法运算步骤①首先将除式写为分式；②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．(2)常用公式①＝－i；②＝i；③＝－i.跟踪训练2(1)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则log2(a－b)的值是()A．1B.C．2D．3(2)已知复数z满足(1＋i)z＝1＋i，则|z|＝________.答案(1)A(2)解析(1)＝＝－i＝a＋bi，∴log2(a－b)＝log22＝1.(2)(1＋i)z＝1＋i，z＝＝＝，∴|z|＝＝＝.类型三共轭复数例3(1)复数z的共轭复数记作.已知(1＋2i)(－3)＝4＋3i，则z＝________.答案5＋i解析 (1＋2i)(－3)＝4＋3i，∴－3＝，＝3＋＝3＋＝3＋＝5－i，则z＝5＋i.(2)已知复数z的共轭复数为，且z·(－3i)＝，求z.解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由z·(－3i)＝，得z－3zi＝1＋3i，即a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，由复数相等的条件，得解得或所以z＝－1或z＝－1－3i.反思与感悟当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练3(1)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋...