文章编号：1000^5862(2007)01-0034-04一类高阶边值问题正解的存在唯一性邓义华，彭白玉(衡阳师范学院数学系，湖南衡阳421008)摘要：研究了一类高阶奇异边值问题的正解.通过对问题进行适当的转化，然后利用"0凹算子的不动点理论，得到了该奇异边值问题在非线性项满足一定条件时存在唯一正解的充分条件.关键词:止解;边值问题;“°凹算子;唯一性中图分类号：0175.8文献标识码：A0引言非线性边值问题正解的存在性已有很多研究成果，但对唯一性的研究并不多见•在文［1］中，韦忠礼研究了一类四阶次线性奇异边值问题，得到了这类问题存在某类正解的充要条件•文献［2］利用Birkhoff-Hopf定理和Hilbert投影距离讨论了一类具有a齐次非线性项的四阶弯曲梁方程正解的存在唯一性•随后文［3］将文［2］的结论推广到一般的2〃阶边值问题，然后利用“0凹算子的不动点理论得到了一类更一般的方程存在唯一正解的条件•为此，考虑如下2几阶方程的定解问题：［(-1)%(2“)仃)=/(策⑺)，e［0,1］,Hx(2A)(0)=兀⑵)(1)=0,k=0,1,•••,/»-1,其中/€C((0,l)f［0,8)),/不恒为曇,/(兀(小在兀=0,x=1处可以有一定的奇异性.1定义及引理设E是实Banach空间,0为E的零元素，P是E中的锥，由P引出E中的半序关系“w”如下，V"2€E,uw-u€P・称锥P是E的一个正规锥，如果存在常数N'EWwyy,恒有IIx||^/V||y||.在P中定义等价关系~，即Vu,vEP^U-UQ存在常数入，“〉0使得卩UWUW入任给U,Q€P且“~定义M(u9v;P)=inf|AGRIuwAv|,m(u,v;P)=supl/z€RI“uwu}，d(u9v;P)=InMM2県；△(片；P,P)=sup\d(Au9Av;P)Iu,vEAu~Av),K(4)=K(A;P,P)=inflA0Id(Au9Av;P)Xd(u9v;P)9u,vGP且u~vI.设u0€P,uQ>&(即uQm。且UOH&),记P%=1«Ix€3A>0,”>O,s.t.AuoW兀W""ol•显然PUQCP•若u0€intP,则代。=intP(P的内部).定义山⑸P,“o>。，若"满足(1)v%>O.Ax€Pu。；(2)VxEP“o及V0Vt<1,存在正数讥t,%),满足A{lx)m"1+7(Gx))4x,则称A为P上的5凹算子.收積日期:2006-06-30基金项目：湖南省自然科学基金资助项目(06JJ5001).作者简介:邓义华(197b),男，湖南郴州人，副教授，硕士，主要从事微分方程研究.引理1(6]设P是E中的正规锥，“>0,4P%单增，若对任意的/€(0,1),存在?(0>0,使得°A(tx)工t(1+?;(t))Ax»VxWP%，(1)则A在P%中存在唯一不动点T的充分必要条件为存在w0,r0€Pu。，满足⑷oW^oWMow忖此时对任意的x0€[Wo,其迭代序列Xn=Axn.i，n=1,2,…,都有xn-^x*.在以下的讨论中，设E=C[O,1],P=|u€EIu(x)^O,Vx€[OJ]|・令F：P~P,B：EfE分别为Fu(/)=/(u(f)),Bu(t)=G(Z,y)u(y)dy,VfG[0,1],(2)0其中G(t9s)为相应问题的Green丙数“(1-s),0wfWsW1，G(t9s)=..A.Ls(l-£),0wswtw1•取e(o=f*G(t,y)dr=v«e[0,1],B")=｛；(；「)，；；；；；；：]'•引理2⑺任给uEP\心，有II加II0wBu,舟ewBp.2主要定理及证明定理1设/(J为a齐次递增函数，且/&(/))在[0,1]上可积，则当a€(0,3)且aH】时，问题(H)必存在唯一的正解.证任给u€P\"I,一方面,对一切自然数几>1有B%(f)=[，G(l,y)B»-,(y)dywIIu||e(f),V<6[Oj],从而wIIy“lie;另一方面，对于P\⑹有Bn-2uEP\⑹，于是由引理2及〃的线性性得IIBn^u||/?=||B(Bn~2u)||pwB(Bn~2u)=所以•yIIBn-lu||ewII||Bp=B(||Bn'lu||/3)w=Bnu.综上所述有yII||ewB%wIIBn^luIIe.(3)所以Bnu6几・再根据(3)式得M(Bnu,e;P)wIIII,m(Bnu.e;P)yIIBn~xu||・于是,仿文献[1]口J证明K(B")=tanh(+zl(B";P,P))tanh(yIn2)=*・对于算子Fu=/(u),由文献[1]可得出d(Fu,Fv;P)=In詈隱喘瑞WIn[M(Fu;P)/m(Fu9Fv;P)]°ad(u9v;P).所以K(F;P,P)=K(F;K,,P)wa，其中凡二几U1^1.Se=Iu€PeIIIuII=11・取A|u=Au/||Au||,Vw€Pt»BO人i(〉；)C〉；，当u,"€〉；时,d(Axu.Axv\P)=d(Au9Av；P)=d(BnFu.BnFv;P)wK(B")d(Fu,Fu;P)wK(Bn)K(F)d(u9v;P)w^ad(u9v;P).由工的完备性及Banach压缩映射原理知，当a€(0,3)时，右在工上有唯一的不动点g,令“*=e・•eII也II则Au*=||4uj||tt/(,-tf)4u|=||4uj||a/(,-fl)・||Au}||Axux=u*,故u*为*的一个不动点，且€Pe・仿文献[叮文可得到，"•为A在P中的唯一正不动点.定理1证毕.注1定理1是文献[1]的定理1在高阶方程中的推广.定理2设/(%)为递增函数,/(%(/))在[0...