专题02数列数列一般作为全国卷第17题或第18题，2021年全国乙卷出现在19题。主要考查刘总和等差数列等比数列的性质求通项公式，以及利用性质求值，再者进行数列求和，一般分为错位相减，裂项求和，分组求和以及绝对值求和等。类型一：利用通项公式及错位相减求和例题1．（2022·广东五华·一模）设数列的前n项和为，满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)当时，，得即，即所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．(2)由（1）知，则（1）（2）（1）－（2）得所以类型二：选择性求通项公式及数列裂项相消求和例题2（2021·河南·高三阶段练习）已知数列{}的前项和为，在①＝，②＝这两个条件中任选一个，并作答．(1)求数列{}的通项公式；(2)设＝，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2).【解析】若选择①＝，则当时，，则，又当时，，解得，故是首项为，公比为的等比数列，则；若选择②＝，则当时，，则，又当时，，满足，则.(2)因为＝，则，故.即数列的前项和.例题3（2022·重庆市求精中学校一模）设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，，.(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)当时，，当时，符合上式，， 数列为等比数列，，，设的公比为，则，而，，解得或，由单调递增，所以，故.(2)，.类型三：数列分组求和例题4．（2022·山东莱西·高三期末）已知数列的前n项和为，且，，为等差数列；数列满足，.(1)求数列的前n项和；(2)若对于，总有成立，求实数m的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】(1)：因为，，为等差数列，所以，所以，两式相减得，即，所以数列是以2为公比的等比数列，又，，所以，解得，所以，，所以，所以，所以；(2)：由（1）得不等式为，整理得，令，则，所以当，时，，即，当，时，，即，所以当时，取得最大值，所以，即，解得.所以实数m的取值范围为.类型四：数列综合应用例题5．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等比数列，前项和为，若成等差数列，，数列满足，，数列的前项和为（1）求的公比的值；（2）求的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1） 成等差数列，∴，即，又，又解得或(舍).记，当时，又也符合上式，.而，，，两式相减得，.而也符合上式，故.数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列，或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围.2．（2022·广东高州·二模）已知数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和．3．（2022·山西运城·高三期末）已知数列的前项和，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.4．（2022·山东菏泽·高三期末）已知数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，设其公差为，求的前项和.5．（2022·福建三明·高三期末）定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，求．1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数...