通过有限差分和MATLAB矩阵运算直接求解一维薛定谔方程文章编号:1672—8785(2010)03—0042—05通过有限差分和MATLAB矩阵运算直接求解一维薛定谔方程王忆锋唐利斌(昆明物理研究所,云南昆明650223)摘要:根据有限差分法原理,将求解范围划分为一系列等间距的离散节点后,一维薛定谔方程转化为可以用一个矩阵方程表示的节点线性方程组.利用MATLAB提供的矩阵左除命令,即可得到各未知节点的函数近似值.该方法概念简单,使用方便,不需要花费较多精力编程即可求解大型线性方程组.关键词:半导体;量子力学;薛定谔方程;有限差分法;MATLAB中图分类号:O413.1文献标识码:ADOI:10.3969/j.issn.1672—8785.2010.03.009DirectSolutionofOne-dimensionalSchrSdingerEquationthroughFiniteDifferenceandMATLABMatrixComputationWANGYi—feng,TANGki—bin(KunmingInstituteofPhysics,KunmingYunnan650223,China)Abstract:Accordingtothefinitedifferenceprinciple,aone—dimensionalSchrSdingerequationcanbeconvertedintoasetofnodallinearequationsexpressedinamatrixequationafterthespaceisdividedintoaseriesofdiscretenodeswithanequalinterva1.ThematrixleftdivisioncommandofferedintheMATLABso,warecanbeusedtoderivethefunctionapproximationofeachunknownnodalfunction.Thismethodissimpleinconceptjconvenientinoperationandcansolvelargelinearequationswithoutmoreeffortsinprogramming.Keywords:semiconductor;quantummechanics;Schr6dingerequation;finitedifferencemethod;MAT—T.AR1引言薛定谔方程是量子力学中最基本的方程,其地位有如经典力学中的牛顿第三定律,电磁学中的麦克斯韦方程.碲镉汞等半导体能带结构的计算就需要求解薛定谔方程.一般情况下,薛定谔方程没有解析解,需要对其做数值计算,其求解也一直作为—个典型的数学物理问题被反复分析讨论,且形成了各种解决方案.这些方案无一例外地要解决两个基本问题,一个是算法设计,另一个是通过编写程序来实现算法.MATLAB应用的简捷性不仅体现于特殊函数的计算],也反映在部分数学物理方程的求解过程中[引.利用MATLAB强大的矩阵计算功能,可以大幅减少求解一维薛定谔方程所需的工作量.2一维薛定谔方程的求解过程分析一维定态薛定谔波动方程如下:d2F+)=0(1)收稿日期:200910—13作者简介:王忆锋(1963一),男,湖南零陵人,工学士,高级工程师,主要从事器件仿真研究.E-mail:wangyi~ng63@sina.cornINFRARED(MONTHLY)/VOL.31,No.3,MAR2010式中,()是波函数(,t)的空间部分.另有0一f(x)=Z~lll,[E—(z)](2),式中,v(x)为势能函数,为约化普朗克常数,m为粒子质量,E为能量.式(1)为泛定方程,利用MATLAB的dsolve()命令,可以求出其通解为()=Csin(~/7)+cos(~/7两)(3)泛定方程附加一些条件(如已知开始运动时的情况或边界上受到的外界约束)后,就能完全确定运动状态,这样的条件被称为定解条件.利用MATLAB的dsolve()命令容易看出薛定谔方程的定解问题是否有解析解.事实上,能做解析计算的薛定谔方程并不多,它在大多数情况下只能进行数值计算.薛定谔方程一般是在定解条件下讨论的.表示开始情况的附加条件称为初始条件,相应的定解问题称为初值问题;表示在边界上受到的约束条件称为边界条件,相应的问题称为边值问题.MATLAB提供了若干个求解一阶微分方程初值问题的函数,其中最常用的是基于变步长四阶五级Runge.Kutta-Felhberg算法的ode45()函数.边值问题无法用ode45()类函数来直接求解,但是可以借助于打靶法将边值问题转化为初值问题,随后调用ode45()函数求解.3利用MATLAB矩阵除法求解一维薛定谔方程一维薛定谔方程的求解不仅需要给出()的边界条件,还需要确定E和V(x).其中,E为本征值或本征函数.这里讨论E和v(x)均为已知的情况.如图1所不,以步长Ax将区l1日J【a,bJ等I1日J距离散化为Ⅳ个小区间,并有△=(4)式中,a和b分别为两个边界点的坐标.节点数为N+I,各节点的坐标分别为=a,x.=a+Ax,3=a+2Ax,?-?,XⅣ=0+(Ⅳ一1)Az,XⅣ+1=b.去除两端边界上已知的函数值(0)=和p(b)=,于是问题转化为求出在其中Ⅳ一1个节点上的近似值().显然,节点数越多,近似值的精度就越高.对于节点i,有}+,()_ojt_...