§2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一推理1．推理的概念与分类(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理．(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．(3)推理一般分为合情推理与演绎推理．2．合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理．知识点二归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征．梳理归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程．(2)归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．知识点三类比推理思考由三角形的性质：①三角形的两边之和大于第三边，②三角形面积等于高与底乘积的.可推测出四面体具有如下性质：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.该推理属于什么推理？答案类比推理．梳理类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．(2)类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．1．类比推理得到的结论可作为定理应用．(×)2．由个别到一般的推理为归纳推理．(√)3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)类型一归纳推理例1(1)观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…，据此规律，第n(n∈N＋)个等式可为_____________________________________________．(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．答案(1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(2)f3(x)＝fn(x)＝解析(1)等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n(n∈N＋)个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n(n∈N＋)个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n(n∈N＋)个等式右边应为＋＋…＋.(2) f(x)＝，∴f1(x)＝.又 fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，∴根据前几项可以猜想fn(x)＝(n∈N＋)．引申探究在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式．解 f(x)＝，∴f1(x)＝.又 fn(x)＝f(fn－1(x))，∴f2(x)＝f(f1(x))＝＝，f3(x)＝f(f2(x))＝＝，f4(x)＝f(f3(x))＝＝.因此，可以猜想fn(x)＝(n∈N＋)．反思与感悟(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．跟踪训练1(1)已知x>1，由不等式x＋>2；x2＋>3；x3＋>4；…，可以推广为()A．xn＋>nB．xn＋>n＋1C．xn＋>n＋1D．xn＋>n(2)观察下列等式：－2＋－2＝×1×2；－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；…，照...