新疆农业大学专业文献综述题目一阶微分方程的解法研究姓名：乃比江.艾海提学院：数理学院专业：数学与应用数学班级：数学与应用数学101班学号：104131135指导老师：毛绪平职称:讲师2014年11月21日新疆农业大学教务处制一阶微分方程的解法研究综述作者：乃比江.艾海提指导教师：毛绪平摘要：本文介绍一阶微分方程的初等解法及其若干应用,把微分方程的求解问题化为积分问题,应用到实际中。用理论指导实践,由抽象总结出具体规律,加深对所学知识的理解。本文就常见的可化为变量分离方程后采用积分法求解的常微分方程进行了归纳总结,作为对此问题的一些探索。关键词:变量分离方程;贝努力方程解法;积分因子，齐次方程解法，一阶线性齐次微分方程的解法定义：微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值，一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题,能用这种方法求解的微分方程称为可积方程；一阶常微分方程是数学中常见而基础的一类微分方程，通常写成如下的形式：dxdt=f(x(t),t)其中的x是要解的未知函数，t是函数的自变量，f是一个已知的连续函数。前言：一阶微分方程的解法与很多,而且技巧性也很强,本文仅介绍了一些简单的方法和其应用.如变量变换法,常数变易法,恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.一、分离变量法：如果一个一阶常微分方程能写成如下形式:dxdt=a(t)b(x)则称其为变量分离方程。“变量分离”意为方程右端的部分可以分离成两个不同部分的乘积，其中一个只与自变量t相关，另一个则只与未知函数x相关例1.1、dydx=xy解：当y≠0时，有dyy，两边积分得到ln|y|=x22+C(C为常数)所以y=C1ex22(C1为非零常数且C1=±eC)y=0显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为y=C1ex22(C1为常数)二、积分因子法：如果方程p(x,t)dx+Q(x,t)dt=0中的函数P和Q不满足上述的关系式，则为了将其转化为恰当微分方程，会探讨能否通过添加适当的函数μ，使得：μ(x,t)P(x,t)dx+μ(x,t)Q(x,t)dt=dU(x,t)这样的函数μ称为方程的积分因子。可以证明，只要原方程有解函数存在，则积分因子也必然存在，而且不一定是唯一的.例2.1求解方程(6yx2+y2)dx+(−3x3+xy)dy=0解：P=6yx2+y2,Q=−3x3+xy,则∂P∂y=6x2+2y,∂Q∂x=−9x2+y,可得∂P∂y−∂Q∂x=−15y2−x.取f(x)=x,g(y)=y2.则有∂P∂y−∂Q∂xQgdfdx−Pfdgdy=15x2+y(−3x3+xy)y2−(6yx2+y2)2xy=−1x2y从而由定理知方程有积分因子u(x,y)=−1x2y.文章虽给出了一些以特殊积分因子解线性微分方程的方法，但是在学习中依然存在许多其它特殊的积分因子用以上方法难以解决，还需要继续探索．三、齐次方程解法形如：的微分方程；叫做齐次微分方程对它进行求解时，只要作变换原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。于是有，从而原方程可化为，即此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量u还原为，所得函数就是原方程的通解。3.1列：求微分方程，满足初始条件的特解。解：方程可化为它是齐次方程。令，代入整理后，有分离变量，则有两边积分，得即将代入上式，于是所求方程的通解为把初始条件代入上式，求出，故所求方程的特解为四、一阶线性齐次微分方程的解法将方程分离变量得两边积分得方程的通解为(C为任意常数)例2、求微分方程的通解。解法1（分离变量法）所给方程是一阶线性齐次方程变量分离得两边积分得即令方程的通解为解法2（公式法）将P(x)=2x代入通解公式，得通解例3、求微分方程的通解.4.1列：原方程变形为:对应的齐次方程为：得通解为设原方程的解为从而代入原方程得化简得两边积分，得所以，原方程的通解五，贝努力方程解法：形如dydx+P(x)y=Q(x)yn,解法：令u=y1−n，有du=(1−n)y−ndy，代入得到dudx+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)，下同（3）例5.1、dydx=6yx−xy2解：令u=y−1，有du=−y−2dy，代入得到dudx+6xu=x，则P(x)=6x,Q(x)=x，有μ(x)=e∫P(x)dx=x6，u(x)=x−6[∫x6⋅xdx+C]=x28+Cx6,(C为常数)，把u代入得到1y=x28+Cx6,(C为常数).总结：以上总结了几类可用变量分离法求解...