第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时勾股定理01基础题知识点1勾股定理的证明1•如图是历史上对勾股定理的一种证法采用的图形，用四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中间空白的部分是一个小正方形.求中间空白小正方形的面积，不难发现:方法①：小正方形的面积=方法②：小正方形的面积=由方法①②，可以得到a,b,c的关系为：a2+b2=c2.知识点2利用勾股定理进行计算2.（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3,股为4，则弦为（A）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为斜边长为c,那么a2+b2=c2.A.5B.6C.7D.83.如图，点E在正方形ABCD内，满足/AEB=90°,AE=6,BE=8，则正方形ABCD的面积为（C）A.48B.60C.100D.140(b—a)2=b2—2ab+a2;4.已知直角三角形的斜边长为10,—直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形中较长的直角边长为(D)A.10B.2.5C.7.5D.310365.在Rt△ABC中，/C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是g.56.如图，在△ABC中，/ABC=90°，分别以BC,AB,AC为边向外作正方形，面积分别记为S,S2,S3.若S2=4,S=6,贝VS=2.7.(教材P24练习T1变式)在厶ABC中，/C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.(1)a=7,b=24，求c;(2)a=4,c=7,求b.解：(1)v/c=90°,「.AABC是直角三角形.2.22--a+bc.2—22•••7+24=c.2•••c=49+576=625.•c=25.(2)v/c=90°,•△ABC是直角三角形.2.22•a+b=c.,2.2_>2•4+b=7.b2=72-42=49-16=33.•b="Q33.&如图，已知在厶ABC中，CD£AB于D,AC=20,BC=15,DB=9.求:(1)CD的长；(2)AB的长.解：(1)•/CDLAB•••/CDA=ZCDB=90°.在Rt△CDB中，根据勾股定理，得CD+DB=BC,即cD+92=152.•CD=12.(2)在Rt△CDA中，根据勾股定理，得CD+AD=AC,即122+AD=202.•AD=16.•AB=AD+DB=16+9=25.易错点直角边不确定时漏解9.（2018•遵义期中）已知直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为5或7.02中档题10.已知直角三角形一个锐角为60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是（D5A.JB.3C..3+2D-^11.如图，在RtAABC中，ZC=90°,D为AC上一点，且DA=DB=5，且△DAB的面积为10,那么DC的长是（B）A.4B.3C.5D.4.5ABC和厶AB'C'拼在一起，其中点A'与点A重合,点C'落在边AB上，连接B'C.若/ACB=ZACB'=90°,AC=BC=3,贝UB'C的长为（A）A.33B.6C.32D.2113.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（女口图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD正方形EFGH正方形MNKT的面积分别为S1，S，S3.若正方形EFGH勺边长为2，则S+S+12.证明：在Rt△BDC中，根据勾股定理，得BD"=CD+BC.•••CD"=BD—BC.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC+BC=AB\•••D是AC的中点，•AC=2CD.12.如图，将两个大小、形状完全相同的△朱寳六黄寳一弦寳二十五朱及黄14.如图，△ABC中，/C=90°，D是AC中点,第12题图4CD2+BC=AB2.•••CDJ=AB：BC4•AB2+3B6=4BD2.03综合题15•勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感•他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明•下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图222/DAB=90°,求证：a+b=c.证明：连接DB,DC过点D作BC边上的高DF,121•S四边形ADCB=S^ACD+S^ABC=121又TS四边形ADCB=S^ADB+S^DCB=qC+qa（b-a）,121121•qb+尹="C+^a（b-a）••a2+b2=c2.请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中/DAB=90°.求证：a2+b2=c2.证明：连接DB过点B作DE边上的高BF,BF=b-a..•S五边形ACBED=S梯形ACBE+S^AED11=2（a+b）b+qab,又TS五边形ACBE=S^ACB+S^ADB+SABED1121=qab+产+qa（b—a）,•BD2-BC=AB"-BC41所示摆放，其中DF=EC=b-a.图2111121•••2（a+b）b+§ab=qab+产+qa（b—a）•2.22•*a+bc.
