初等积分法与一阶方程解题初探李长江(承德民族师专数学系,河北承德067000)摘要:介绍能用初等积分法求解的各种一阶微分方程的方程类型、相互联系、解题要领和解题规律。关键词:一阶微分方程;初等积分法;求解文章编号:1671-5365(2006)06-0026-02中图分类号:O175.1文献标识码:A常微分方程这门学科大体上是和微积分同时产生的.人们在生产实践中针对实际问题提出微分方程,并用积分的方法求其精确的解析表达式,这种把微分方程求解问题化成初等函数积分问题的方法,就是人们常说的初等积分法.后来,尽管数学家刘维尔(Liouville)于1841年证明了大量的常微分方程不能用初等积分法求解,但是,从常微分方程的现代水平上看,初等积分法仍为自出现微分方程以来所获得的一阶微分方程最主要的求解方法。能用初等积分法求解的一阶方程类型有变量分离方程、齐次方程、线性方程、贝努力(Bernoulli)方程、对称形状方程以及某些一阶隐方程.其中前五种为导数已解出方程,包括一阶隐方程在内,上述方程类型多数都可以通过变量替换化为变量分离方程.因此,能用初等积分法求解的方程类型,最基本的当属变量分离方程。1变量分离方程一切变量分离方程都可以写成d(<(x))d(<(x))Θg(<(x))时,采用变量替换,则有Θg(<(x))<(x)y==Θdy.若Θ可以积出并设为Θdy=ψ(y),也g(y)g(y)g(y)ψ(y)=Θf(x)dx+c,且又被方程①的任一解y=<(x)所满足,故ψ(y)=Θf(x)dx+c就是方程①的隐式通解.其次,还要求出g(y)=0的全部实根y1,y2,,ym,因为若g(y1)=0,则函数yψ(y)=Θf(x)dx+cy=ykg(y)≠0g(yk)=,前面提到的五种导数已解出的方程类型,前四种都可以通过变量替换化为变量分离方程,因而都可利用初等积分法求解dy=f(x)g(y)①dyy(最后回到原变量).事实上,对于齐次方程dx=g(x),令u=dx其特点为方程的左边是未知函数y的导数,右边是仅为x、y的两个一元函数f(x)与f(y)的乘积,方程①的具体解法为以下的分离变量法:首先,假设在区间(y0,y1)上g(y)≠0,对①分离变量得g(u)-uydux将方程化为dx=,这是一个变量分离方程;齐次线性x方程dy=P(x)y本身就是变量分离方程;非齐次线性方程dy=dxdxP(x)y+Q(x)则要用常数变易法求解,而常数变易法的实质是采用变量替换y=c(x)eΘP(x)dx,这里c(x)是新变元.dyg(y)=f(x)dx,设y=<(x)是方程①的解<(x)∈(y0,y1),根d<(x)c(x)的方程为dc=Q(x)(x)e-ΘP(x)dx,它是变量分离方程,积据微分方程解的定义就有=f(x)dx,两边对变元x积g(<(x))dx分得到Θd(<(=Θf(x)dx+c(c为任意常数).在分一次求出c(x)=ΘQ(x)e-ΘP(x)dxdx+c(c为任意常数),然g(<(x))收稿日期:2006-04-05作者简介:李长江(1957-),男,辽宁沈阳市人,副教授,主要从事数学分析、常微分方程研究。272006年6期李长江:初等积分法与一阶方程解题初探后回到原来的变量y=eΘP(x)dx〔ΘQ(x)e-ΘP(x)dxdx+积分因子是不值得的.此外,一切导数已解出的一阶方程dy=dxf(x,y)都可以化为对称形状的方程f(x,y)dx-dy=0,因而前面四种方程总能通过寻求积分因子来求解.3一阶隐方程一阶隐方程的一般形式写为F(x,y,y′)=0.通常只要求四种类型:1.y=f(x,y′)=0;2.x=f(y,y′)=0;3.F(x,y′)=0;4.F(y,y′)=0.其中类型3、4如能把y′解出,就是变量分离方程,可以直接利用初等积分法求解,不必引入参数.对于类型1、2的方程,若y′不能解出,则可引入参变量p,把原方程化为以p为未知量的导数已解出的一阶方程,解出p就可得到参数形式的通解,如果关于p的方程无法解出,则这个方法就行不通.因此,对类型1、2的方程并非永远可以得到参数形式的解.最后有两个问题需要强调:1要熟练地应用初等积分法解题,一定要把各种类型方程的特征搞清楚,这样才可以在接触到问题时,正确而敏捷地识别为线性非齐次方程的通解;贝努力方程dy=P(x)y+Q(x)yn则dx可利用变量替换z=y1-n(y≠0)化为线性方程dz=(1n)P(x)dxz+(1-n)Q(x),从而也归结为变量分离方程的求解.2对称形状方程对称形状的方程是指形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0②(以下记M(x,y)=M,N(x,y)=N,)的方程,其特点是把两个变量x、y同等看待,以微分形式给出.与上述四种不同,前四种方程总能解出,但方程②能化为求积分的为数不多,其中最主要的是恰当方程,即系数函数M满足9M=9N的方程.这种恰当方程总是能够求...