嘉定一中高一第二学期期末测试数学试题一、填空题（本大题共74分，1-6每题4分，7-16每题5分）1.函数，的值域为______．2.已知一个扇形的弧所对的圆心角为40°，半径，则该扇形的弧长为______cm．3.已知复数，，若所对应的点在实轴上，则______．4.若，，则______．5.若向量，，已知与的夹角为，则实数k是______．6.将一枚均匀的骰子抛掷两次，得到的数字依次记为a，b，则实数a是方程的解的概率为______．7.已知，且是第二象限角，则______．8.若函数在区间上至少取得3次最大值，则实数t的最小值为______．9.实系数一元二次方程的根是（i是虚数单位）是的______条件．（填充分非必要、必要非充分、充要、既非充分又非必要）10.2022年3月，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得上海学生不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）．已知学习时长在的学生人数为72，则n的值为______．11.三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则三角形ABC的周长为______．12.某位同学参加物理、化学、地理科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、地理科目考试中达的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个的概率是______．13.在中，，M是AB的中点，若，D在线段AC上运动，则的最小值为______．14.在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．15.已知函数（其中，），若（T为周期），是函数图像的一条对称轴，在区间上单调，则的值为______．16.锐角三角形ABC中，，且最长边与最短边之比为m，则m的取值范围是______．二、解答题（本大题共76分，17，18，19每题14分，20题16分，21题18分）17.设平面上有两个向量，．（1）求证：向量与垂直；（2）当向量与平行时，求的大小．18.已知向量，，，在复平面坐标系中，为虚数单位，复数对应的点为．（1）求；（2）若复数z满足（为的共轭复数），且复数z对应的点为Z，求点Z与点之间的最小距离．19.某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点O是半圆的圆心，在圆弧上取点C、D，使得，把四边形ABCD建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB，BC，CD和DA组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且；（1）当时，求四边形ABCD的面积；（2）求塑胶跑道的总长l关于的函数关系式；（3）当为何值时，塑胶跑道的总长l最短，并求出l的最小值．（答案保留2位小数）20.已知复数，，（其中是虚数单位）．（1）若，求所有的值所构成的集合；（2）设，记（表示复数的虚部），求的最小正周期与单调递增区间；（3）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．21.我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期．（1）验证是以为周期的正弦周期函数．（2）已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由．（3）已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值．