（选修2--1）空间向量与立体几何解答题精选及答案1．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。（Ⅰ）证明：面面；（Ⅱ）求与所成的角；（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为.（Ⅰ）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.（Ⅱ）解：因（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使要使为所求二面角的平面角.2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面底面．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.（Ⅰ）证明：不防设作，则，，由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直.∴平面.（Ⅱ）解：设为中点，则，由因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小为3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点.（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离.解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、、、、、，从而设的夹角为，则DCBAV∴与所成角的余弦值为.（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，由面可得，∴即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.4．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求点到平面的距离.解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设.∵为平行四边形，（II）设为平面的法向量，的夹角为，则∴到平面的距离为5．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；（2）当为的中点时，求点到面的距离；（3）等于何值时，二面角的大小为.解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则（1）（2）因为为的中点，则，从而，，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为（3）设平面的法向量，∴由令，∴依题意∴（不合，舍去），.∴时，二面角的大小为.6．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：（Ⅰ）异面直线与的距离；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系.由于，在三棱柱中有,设又侧面，故.因此是异面直线的公垂线，则，故异面直线的距离为.（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，.已知求（Ⅰ）异面直线与的距离；（Ⅱ）二面角的大小.解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系.由已知可得设由，即由，又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线,的距离为.（Ⅱ）作，可设.由得即作于，设，则由，又由在上得因故的平面角的大小为向量的夹角.故即二面角的大小为