第09讲利用导数研究函数的单调性【学习目标】1、了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【备考指南】导数与函数的单调性是高考中的热点问题，题型有利用导数求函数的单调区间和已知单调性求参数的取值范围，难度较大.【考点总结】1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。【考点解析】【考点】一、不含参数函数的单调性例1．函数y＝4x2＋的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．C．(－∞，－1)D．解析：选B.由y＝4x2＋，得y′＝8x－，令y′>0，即8x－>0，解得x>，所以函数y＝4x2＋的单调递增区间为.故选B.例2．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)()A．在(0，＋∞)上单调递增B．在(0，＋∞)上单调递减C．在上单调递增D．在上单调递减解析：选D.因为函数f(x)＝xlnx，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x>0)，当f′(x)>0时，解得x>，即函数的单调递增区间为；当f′(x)<0时，解得0<x<，即函数的单调递减区间为，故选D.例3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________．解析：f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，令f′(x)＝xcosx>0，则其在区间(－π，π)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为和.答案：和求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间．(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间．[提醒]求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．【考点】二、含参数函数的单调性例1、已知f(x)＝a(x－lnx)＋，a＞0.讨论f(x)的单调性．【解】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－－＋＝＝.(1)当0<a<2时，>1，当x∈(0，1)或x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．(2)当a＝2时，＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增．(3)当a>2时，0<<1，当x∈或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上所述，当0<a<2时，f(x)在(0，1)内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增；当a>2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．解决含参数函数的单调性问题应注意的2点(1)研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．【变式】1、已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)，讨论函数y＝f(x)的单调区间．解：f′(x)＝－a＝1－－a.①当a≥1时，f′(x)<0恒成立，所以当a∈[1，＋∞)时，函数y＝f(x)在R上单调递减．②当0<a<1时，由f′(x)>0，得(1－a)(ex＋1)>1，即ex>－1＋，解得x>ln，由f′(x)<0，得(1－a)(ex＋1)<1，即ex<－1＋，解得x<ln.所以当a∈(0，1)时，函数y＝f(x)在上单调递增，在上单调递减．综上，当a∈[1，＋∞)时，f(x)在R上单调递减；当a∈(0，1)时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．【考点】三、函数单调性的应用角度一比较大小或解不等式例1、(1)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)(2)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈，都有f′(x)sinx<f(x)cosx，则()A.f>fB．f>f(1)C.f<fD．f<f【解析】(1)由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1，故选B.(2)令g(x)＝，则g′(x)＝，由已知得g′(x)<0在上恒成立，所以g(x)在上单调递减，所以g>g，即>，所以f>f.【答案】(1)B(2)A角度二已知函数的单调性求参数例2、已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x(a≠0)...