关于三角形面积最小值的一个定理

关于三角形面积最小值的一个定理维普资讯前重庆.29做学菇于三角移面置值的一个定理‘四川省射洪县柳树中学629209—吼在很多参考书上均有这样一类题:求过定点的直线与坐标轴围成的三角形面积的最小三三;堋值,及此时直线的方程.该题解法较多.主要有形判别式法,基本不等式法.通过讨论发觉有下面般性的结论:期,一:一睇舢0123I定理:面ABC△中.边利用该结论解此类问题特别便利、快速.例1直线过P(1、2)且与轴、y轴正向交于A、B两点,求.,xAOB面积取最小值时的方程.解:由定理知,.'xAOB面积最小时,P为AB的中点.易求A(2,O),Km=一2,^B方程为一2=一AB、At2所在的直线为定直线,边BC所在的直线是经过B4C内肯定点P的动直线,过P作ID/'/交AB于D.PE//AB交AC于E.那么直线BC变动时-,ADC面积的最小值为2sD∞.此时P为线段Bc的中点.证明:过C作CF上EP于F,过P作PC.上AB于G,令IADl=m、l弼{=h、lf=口、IDBI=6.由于直线AB、^c为定直线,P为定点,所以m、h为定值,。、b为变量.易求112(x一1)即2z+v一4:0s∞=△最小值为22=4.例2S ̄aorz=mh、scEP=△言、sm=△言hb.由△0璺△脚=A△弼是抛物线0=2/zr的顶点为直角顶点的内接三角形.试求'x,a/ ̄B面积的最小值图3解:由于GA上OB,所以^B过定点P(印,0),^0B△面积最小时P为AB中点,则AB上OP.由对称性知平行四边Og2:'D为正方形,故-知最小面积为2.5口㈣例3已知直线z1;z—+10,2:+3y=2(,r2p)=4/,.即=/1B~所以曲=砌①由于sABc=s△口D阿+S(EP+S,xv△ ̄P(1,1)’I1rah+{(4m+hb)≥rah+土,-j2√删‘hb=rah+=rah+=2mh.+2=0,求直线z的方程.使z过P(1,1)且与直线z1、z2围成的三,C图4所以S^B[:≥2s口∞所以-AI3C面积最小值为2Sr]aom.当面积取到最小值时一=胁②由①、②知m=6,所以D为AB中点,从而P为线段BC中点.角形面积最小.解:如图4,当P为AB中点时-'xABC面积最小,令A(m,),则B(2一m,2一n)由A、B在2、l上有fm+3+2=0I2一一(2一)+1=01所以m:言一n一号.由两点式可知方程为7x一3y一4:0.

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