五与圆有关的比例线段[学习目标]1.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理以及切线长定理.2.能应用这些定理解决与圆有关的比例线段问题.[知识链接]1.如图所示，CD是弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，则∠ACB＝________.从而由________定理可得到PC，PA，PB之间有怎样的关系？提示∠ACB＝90°，由射影定理得：PC2＝PA·PB.2.若CD与AB不垂直，会有怎样的结论？提示PC·PD＝PA·PB.3.若从运动中变化的观点来看，将图①中的点P从⊙O内接移到⊙O上(如图②所示)，再移到⊙O外(如图③所示)，则相交弦PA，PB，PC，PD之间有怎样的关系？提示PA·PB＝PC·PD仍然成立.[预习导引]1.相交弦定理文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等符号语言⊙O的两条弦AB和CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD图形语言作用证明线段成比例2.割线定理文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等符号语言从⊙O外一点P引圆的两条割线PAB和PCD，则PA·PB＝PC·PD图形语言作用证明线段成比例3.切割线定理文字语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项符号语言从⊙O外一点P引圆的切线PA和割线PBC，A是切点，则PA2＝PB·PC图形语言作用证明线段成比例4.切线长定理文字语言从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角符号语言PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB图形语言作用证明角相等，线段相等要点一相交弦定理的应用例1如图所示，在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O于点C，D，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.证明连接PO. P为弦AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB， PE⊥OA，∴在Rt△APO中，AP2＝AE·AO，由相交弦定理得PD·PC＝PA·PB，∴PD·PC＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.规律方法用相交弦定理解决此类问题的步骤：(1)结合图形，找准分点及线段被分点所分成的线段；(2)正确应用相交弦定理列出关系式；相交弦定理的运用多是与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相结合.跟踪演练1如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，求PE·EQ的值.解延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N. CD2＝AD·DB，AD＝9，BD＝4，∴CD＝6.在⊙O，⊙C中，由相交弦定理可知，PE·EQ＝DE·EM＝CE·EN，设CE＝x，则DE＝6－x，则(6－x)(x＋6)＝x(6－x＋6)，解得x＝3.所以CE＝3，DE＝6－3＝3，EM＝6＋3＝9.所以PE·EQ＝3×9＝27.要点二切割线定理应用例2如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2＝EC·EB.证明如题图， AE是圆的切线，∴∠ABC＝∠CAE.又 AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD. ∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，∴∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED. EA是圆的切线，∴由切割线定理知，EA2＝EC·EB.而EA＝ED，∴ED2＝EC·EB.规律方法利用切割线定理证明乘积式成立是一种重要的题型，是高考出题的热点之一，在解决此类问题时，要分清切线与割线以及相关图形的特点，结合三角形、四边形等图形的性质加以论证.跟踪演练2如图所示，PA切⊙O于点A，点M为BC的中点，割线PBC交AM与点D，交⊙O于点B，C.求证PD2＝PB·PC.证明连接AC.由题意知∠ADB＝∠C＋∠CAD，∴∠ADB的度数＝(AB的度数＋CM的度数). M为BC的中点，∴CM＝BM，∴∠ADB的度数＝(AB的度数＋BM的度数)＝AM的度数. PA切⊙O于点A，∴∠PAD的度数＝AM的度数.∴∠PAD＝∠PDA，∴PA＝PD.由题意知PA2＝PB·PC，∴PD2＝PB·PC.要点三切线长定理的应用例3如图所示，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，C为AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，△PDE的周长为8cm，且∠DOE＝70°.求：(1)PA的长；(2)∠P的度数.解(1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE.由切线长定理可知PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，所以PA＋PB＝2PA＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋(DC＋EC)，即2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝8cm，所以2PA＝8c...