备作业3.2.1函数的单调性[A级基础稳固]1．函数f(x)＝|x|,g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是()A．(－∞,0],(－∞,1]B．(－∞,0],(1,＋∞)C．[0,＋∞),(－∞,1]D．[0,＋∞),[1,＋∞)解析：选C分别作出f(x)与g(x)的图象(图略)可得：f(x)在[0,＋∞)上递增,g(x)在(－∞,1]上递增,选C.2．函数f(x)＝|x＋2|在[－3,0]上()A．单调递减B．单调递增C．先减后增D．先增后减解析：选C作出f(x)＝|x＋2|在(－∞,＋∞)上的图象,如图所示,易知f(x)在[－3,0]上先减后增．3．设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定解析：选D由函数单调性的定义,知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值,才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小,而本题中的x1,x2不在同一单调区间内,所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.4．已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,－1),B(3,1)是其图象上的两点,则－1<f(x)<1的解集是()A．(－3,0)B．(0,3)C．(－∞,－1]∪[3,＋∞)D．(－∞,0]∪[1,＋∞)解析：选B由已知,得f(0)＝－1,f(3)＝1,∴－1<f(x)<1等价于f(0)<f(x)<f(3)． f(x)在R上单调递增,∴0<x<3.5．若函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2,都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0成立,则实数a的取值范围是()A.B．C．[1,2]D．[1,＋∞)解析：选C因为函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2,都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0成立,所以函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,即解得1≤a≤2.所以实数a的取值范围是[1,2]．故选C.6．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________．解析：当x≥1时f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调递减区间为(－∞,1)．参考答案：(－∞,1)7．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数,则满足f(x)<f的实数x的取值范围为________．解析：由题设得解得－1≤x<.参考答案：8．若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数,则实数k的取值范围是________．解析：由题意知函数f(x)＝8x2－2kx－7的图象的对称轴为x＝,因为函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数,所以≤1或≥5,解得k≤8或k≥40,所以实数k的取值范围是(－∞,8]∪[40,＋∞)．参考答案：(－∞,8]∪[40,＋∞)9．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0,＋∞)上的单调性．解：函数f(x)＝－＋1在(0,＋∞)上是增函数．证明如下：设x1,x2是(0,＋∞)上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)－f(x2)＝＝,由x1,x2∈(0,＋∞),得x1x2>0,又由x1<x2,得x1－x2<0,于是f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)＝－＋1在(0,＋∞)上是增函数．10．作出函数f(x)＝的图象,并指出函数f(x)的单调区间．解：f(x)＝的图象如图所示．由图可知,函数f(x)＝的单调减区间为(－∞,1]和(1,2),单调增区间为[2,＋∞)．[B级综合运用]11．已知函数f(x)是R上的增函数,对任意实数a,b,若a＋b>0,则有()A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)解析：选A a＋b>0,∴a>－b,b>－a,∴f(a)>f(－b),f(b)>f(－a),∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．故选A.212．已知函数f(x)＝是R上的减函数,则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(0,3]C．(0,2)D．(0,2]解析：选D依题意得实数a满足解得0<a≤2.13．设f(x)是定义在R上的增函数,f(xy)＝f(x)＋f(y),f(3)＝1,则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．解析：由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x),又f(3)＝1,∴不等式f(x)＋f(－2)>1,即为f(－2x)>f(3)． f(x)是定义在R上的增函数,∴－2x>3,解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.参考答案：14．设函数f(x)＝(a>b>0),求f(x)的单调区间,并说明f(x)在其单调区间上的单调性．解：在定义域内任取x1,x2,且使x1<x2,则f(x2)－f(x1)＝－＝＝. a>b>0,x1<x2,∴b－a<0,x2－x1>0.只有当x1<x2<－b或－b<x1<x2时,函数才单调．当x1<x2<－b或－b<x1<x2时,f(x2)－f(x1)<0.∴y＝f(x)在(－∞,－b)上是单调减函数,在(－b,＋∞)上也是单调减函数．∴y＝f(x)的单调减区间是(－∞,－b)和(－b,＋∞),无单调增区间．[C级拓展探究]15．已知函数f(x)对任意的a,b...