绝密★考试结束前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试时间120分钟，满分150分。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．已知集合,，则中元素的个数为A.2B.3C.4D.62．复数的虚部是A.B.C.D.3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的概率分别为且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A.，B.，C.，D.，4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）A.60B.63C.66D.695．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线交于D，E两点，若，则C的焦点坐标为A.B.C.D.6.已知向量a，b满足，则A.B.C.D.7.在△ABC中，，则A.B.C.D.8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A.B.C.D.9.已知，则=A.-2B.-1C.1D.210.若直线l与曲线和圆相切，则l的方程为A.B.C.D.11.设双曲线的左、右焦点分别是，，离心率为.P是C上一点，且.若的面积为4，则a=A.1B.2C.4D.812.已知设则A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若满足约束条件，则的最大值为__________.14.的展开式中，常数项是__________（用数字作答）.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________.16.关于函数有如下四个命题：①的图像关于y轴对称.②的图像关于原点对称.③的图像关于直线对称.④的最小值是2.其中所有真命题的序号是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.（12分）设数列满足.（1）计算，猜想的通项公式并加以证明。（2）求数列的前n项和.18.（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点値为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次＞400空气质量好空气质量不好附：，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.82819.（12分）如图，在长方体中，点分别在棱上，且,（1）证明：点在平面内；（2）若，求二面角的正弦值.20.（12分）已知椭圆的离心率为，分别在的左、右顶点.（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，求△的面积.21.（12分）设函数，曲线在点处的切线与y轴垂直。（1）求b；（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明:所有零点的绝对值都不大于1.（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（t为参数且t≠1），与坐标轴相交于两点.（1）求；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为级轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）设，，.（1）证明：；（2）用表示的最大值，证明.