文章编号：1672-4143（2009）02-0001-05中图分类号：O174.5文献标识码：A关于黎曼-斯蒂尔切斯积分存在性的一个注记（莆田学院应用数学研究所，福建莆田351100）卢国富，周磊摘要：讨论黎曼-斯蒂尔切斯（R-S）积分的存在性问题，在文[1]基础上给出了R-S积分存在性的一个等价命题及其证明。在大学数学专业课程设置中，由于受到课时的限制，R-S积分内容讲授往往较难把握，不利于这部分内容的教与学。该研究结果不管是对于正确理解和应用R-S积分，还是对进一步学习数学其他专门化课程都有重要意义。关键词：有界变差；黎曼-斯蒂尔切斯积分；存在性；全变差；跳跃函数ARemarkontheExistenceofRiemann-StieltjesIntegralLUGuo-fu,ZHOULei(InstitueofAppliedMathematies,PutianUniversity,PutianFujian351100,China)Abstract：HereRiemann-Stieltjes（R-S）integralisconcernedwith.Asitiswell-known,thistypeofintegralisanimportantgeneralizationtoRiemannintegral.OurpurposeistoinvestigateofR-Sintegralityandgiveanewproofofthetheorembyintroducingsomepropertiesofboundedvariationfunction.Asaresult,weestablishthesufficientandnecessaryconditionsoftheexistencetheoremofR-Sintegral.Sinceclassperiodislimitedintheuniversitycalculuscourse,thereissomesubstantialdifficultyonteachingandstudyingsuchtopic.ThestudentsofmathematicsdepartmentmaynotunderstandtheconceptionsonR-Sintegralwell.Soourworkwillbehelpfultothemandallwhoareinterestedinthetopic.Keywords：boundedvariation；Riemann-Stieltjesintegral；existence；totalvariation；jump为R-S可积的，此极限叫做fδxδ在δa,bδ上关于0引言本文先引入以下定义定义1设fδxδ为在δa,bδ上的有界函数，uδxδ为在δa,bδ上的有界变差函数，对δa,bδ作一分划T:a=x0＜x1＜…＜xn=b及属于此分划的一组“介点”xi-1燮ξ燮xi(i=1,2,…,n)，作和数nΣfδξiδδuδxiδ-uδxi-1δδbuδxδ的R-S积分，记为乙fδxδduδxδ．a定义2设uδxδ为δa,bδ上的有限函数，如果对于δa,bδ的一切分划T，乙Σuδxiδ-uδxi-1δ乙ni=1成一有界数集，则称uδxδ为δa,bδ上的有界变差函数，并称这个数集上确界为uδxδ在δa,bi=1记δδTδ=max全变差，记为Vδuδ=sup乙Σuδxiδ-uδxi-1δ乙nb，当δδTδ→0时，这和数总．xi-xi-10燮i燮naTi=1是趋于一确定的有限极限（无论分划T如何，也无论介点取法如何），则称fδxδ在δa,bδ上关于uδxδ设uδxδ为δa,bδ上的有界变差函数，定义3E奂δa,bδ，对于E的任一覆盖，即区间列乙αk乙，收稿日期：2009-03-27基金项目：国家自然科学基金资助项目（10671103）；莆田学院教改莆田学院学报2年月20094E奂∪αk奂∪a,b∪，其中αk是以ak,bk为端点的区间，1x1Nδxδ=Vδu∩uδxδ-uδaδΣ22aΣΣUδαkδΣ∞bkk=1,2,…，记Uδαkδ=Vδuδ，则称inf为点集E上的全变差．uδxδ-uδaδ=Pδxδ-NδxδakE奂∪αkk=1kxUδxδ=Vδuδ，Uδxδ=Pδxδ+Nδxδa引理2如果uδxδ为∩a,bΣ上有界变如果fδxδ为∪a,bΣ上有界函数，定义4E∩∩a,bΣ≠准，则称ωδE∩∪a,b若uδxδ在则其可表示为两个单调增函数之差．fδxδ-fδxδsupinf∩a,bΣ上连续，则Uδxδ,Pδxδ和Nδxδ在∩a,bΣ上皆连续．引理1、引理2的证明见文[5-6]，从略．x∈E∩∪a,bΣx∈E∩∪a,bΣ为fδxδ在集合E上的振幅．特别当x0∈∪a,bΣ，称ωδx0,fδ=limωδUδx0,δδ∩∪a,bΣ,fδδ→0为fδxδ在x0处的振幅．本文主要目的是建立如下R-S积分存引理3设uδxδ为∩a,bΣ上有界变差函数，fδxδ为∩a,bΣ上的有界函数，则fδxδ在∩a,bΣ上关于uδxδ的R-S积分存在的充分必要条件n若uδxδ为∪a,bΣ上有界变差函数，fδxδ定理limΣωi△iu=0δδTδ→0i=1b乙a为∪a,bΣ上的有界函数，则R-S积分fδxδduδxδ存在的充分必要条件是在fδxδ的不连续点集E上uδxδ的全变差为零．易知当uδxδ=x时，R-S积分便是R积分，可见R-S积分为R积分的一种推广，其不但在阐述如概率论、测度论等数学分支中相关概念有重要的作用，而且...