Ch3、函数逼近与计算§1、引言1、引例某气象仪器厂要在某仪器中设计一种专用计算芯片，以便于计算观测中经常遇到的三角函数以及其它初等函数。设计要求在区间中变化时，近似函数在每一点的误差都要小于某一指定的正数。①由于插值法的特点是在区间中的个节点处，插值函数与被插值函数无误差，而在其它点处。对于，逼近的效果可能很好，也可能很差。在本问题中要求在区间中的每一点都要“很好”地逼近，应用插值方法显然是不可行的，龙格现象就是典型的例证。②可以采用泰勒展式解决本问题。将在特殊点处做泰勒展开取其前作为的近似，即但泰勒展式仅对附近的点效果较好，为了使得远离的点的误差也小于，只好将项数取得相当大，这大大增加了计算量，降低了计算速度。因此，从数值计算的角度来说，用泰勒展式做函数在区间上的近似计算是不合适的。③引例提出了一个新的问题，即能否找到一个近似函数，比如说，它仍然是一个次多项式，不一定要在某些点处与相等，但却在区间中的每一点处都能“很好”地、“均匀”地逼近。2、逼近问题对，求一个多项式，使在某种衡量标准下最小。①一致逼近（均匀逼近）无穷范数：最小②平方逼近（均方逼近）欧氏范数：最小。13、维尔斯特拉斯定理定理：设，则对任意，有多项式，使在上一致成立。本定理的证法很多，伯恩斯坦在1921年引入了一个多项式他证明了。伯恩斯坦多项式在自由外形设计中有较好的应用。但它有一个致命的缺点，就是收敛太慢。要提高逼近精度，只好增加多项式的次数，这在实际中是很不合算的。切比雪夫从另一个角度去研究逼近问题。他不让多项式的次数趋于无穷，而是先把固定。对于，他提出在次多项式集合中，寻找一个多项式，使在上“最佳地逼近”。§2、正交多项式一、正交多项式的概念及性质定义1：设区间上非负函数满足①存在；②对非负连续函数，若，则在上，则称为区间上的权函数。定义2：设，为上的权函数，则积分称为与在上的内积。定义3：设为上的次多项式，若满足，则称为上关于权函数的正交多项式系。定理：上的正交多项式在内有个不同的实零点。二、Legendre多项式1、定义，称为Legendre多项式。2、性质①正交性②奇偶性2，即为奇（偶）数时，为奇（偶）函数。③递推公式三、Chebyshev多项式1、定义称为第一类Chebyshev多项式。若记，即，则。2、性质①在上关于权正交，即证：②当为奇（偶）数时，为奇（偶）函数。证：③递推关系证：即④是次多项式，其最高项系数为。证：由③易知为次多项式。3故即最高项系数为。§3、最佳平方逼近1、问题对，在生成的子集中求一函数，使最小。2、求解记，令，得即，也可改写为下列矩阵形式——法方程3、用正交多项式做最佳平方逼近若取，因，由法方程可得从而即为的最佳平方逼近多项式。4若取，因，由法方程可得从而即为的最佳平方逼近多项式。例1、用正交多项式求在上的三次最佳平方逼近多项式。解：用Chebyshev多项式故用Legendre多项式故5§4函数按切比雪夫多项式展开定义：称为切比雪夫级数或广义傅立叶级数，其中根据切比雪夫多项式的性质，切比雪夫级数的部分和可作为的近似最佳一致逼近多项式。例2、将在上展成切比雪夫级数。解：因为奇函数，从而也为奇函数，故从而注：的泰勒展式为6即切比雪夫展式可用较小的项数达到泰勒展式的精度，如对要达到10位有效数字，泰勒展式要25项，而切比雪夫展式仅要10项。§5、离散数据的拟合与最小二乘法1、离散数据的拟合问题引例1：矿井中某处的瓦斯浓度与该处距地面的距离有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据，根据这些数据完成下列工作：(1)寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2)估计井下600米处的瓦斯浓度。根据所学内容，分别给出解决上述问题的方法，并说明理由。对于第一个问题，可根据已有瓦斯浓度数据，求出其样条插值函数，由即可较为准确地求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度。但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500...