具有非线性传染率的SEIS传染病模型的定性分析周鑫指导老师：郭金生(河西学院数学与应用数学专业2014届2班56号,甘肃张掖734000)摘要本文对传染率为的SEIS传染病模型做了定性分析.当基本再生数时,无病平衡点是全局稳定的,并疾病最终灭绝.基本再生数时,平衡点是存在的,并且是局部渐近稳定的,且最终发展为地方病.关键词传染病模型;非线性传染率;基本再生数;平衡点;稳定性中图分类号O175AQualitativeAnalysisofanSEISEpidemicModelWithNonlinearIncidenceRate(No.56,Class2of2014,SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000)Abstract:DiscussestheprevalenceofinfectionofSEISepidemicqualitativeanalysisofthemodel.Whenthebasicreproductivenumber,disease-freeequilibriumisgloballyasymptoticallystable,andthediseaseeventuallybecomeextinct.Whenthebasicreproductivenumber,thereisequilibriumpoint,andislocallyasymptoticstableandcutdevelopmentforendemicdisease.Keywords:Infectiousdiseasemodel;Nonlinearinfectiousrate;Thebasicreproductivenumber;Equilibriumpoint;stability1引言近年来,人们提出了不同的传染率,但在研究了1973年意大利东部港市巴里流行的霍乱之后,Capasso和Serio在传染病模型中引入了饱和传染率,这对之后人们研究传染病具有广泛的影响.文献就引入了形如的传染率,文献又引入了形如的传染率,文献又讨论了为传染率的SEIS模型,而文献讨论了更为一般的非线性传染率.本文将采用为传染率的非线性传染率模型,此模型的非线性表达了当染病者,潜伏者与易感人群之比增加时,易感者在行为上不但抑制了染病者对传染病的传播,而且控制了与类似传染病症状人群(潜伏者)的交往,加强了对传染病的预防工作,从而多方面抑制传染病的传播.2模型建立与分析本文所考虑的SEIS传染病模型为(1)其中为易感染者的数量,为潜伏者的数量,为染病者的数量,为人口对系统的输入量,为死亡率(假定,,的死亡率相同),为由潜伏者转化为染病者的转化率,为由染病者转化为易感染着的转化率,为患病者因病而增加的死亡率,其中.对模型(1)中的式子累加可以得到.(2)可以观察可得看出,如果假设总人口数为,则,且,根据对(2)式的分析可以知道.现假设为系统(1)的基本再生数,它是一个染病者在有效传染期内被混入到易感人群中所产生的二代染病病历数.通过观察系统(1)可以发现,系统(1)必定存在一个无病平衡点.引理对于一个在上有界的实值函数,定义，设有界且二次可导的函数,当时,且或者,则.定理1当时,系统(1)在无病平衡点处是全局稳定的.证明对于系统(1)在处,其特征函数为.可以得到为一个特征根,其他特征根由来确定,为了使得所有的特征根为负根,则当且仅当.(3)化简(3)式可以得到当且仅当时,所有的特征根为负根,即时,是局部渐近稳定的.根据引理1,可以选择序列,使得,和序列,使得,.又因为,所以.(4)当(4)中时,则必有,则不妨在下面的放缩中,取,,则从系统(1)的第二个方程有,(5)对于系统(1)的第三个方程,可以得到,(6)则由(5)、(6)式可以得到,(7),(8)其中(7)意味着当时,；接着由且，再根据(8)可以得到.然而,因为,所以由夹逼定理的推广可以得到.再根据的局部稳定性知道:当时,平衡点是全局渐近稳定的.根据以上分析,当时,无论初始潜伏者人数与感染者人数为多少,传染病最终都将消失.定理2当时,,,是在区间的唯一根.证明系统(1)的地方病平衡点的坐标是方程组(9)在内的正解.由方程组(9)的第三个方程可得,由于不考虑的情况,再由第二个方程可以得到.将与代入第一个方程可以得到.注意到又由于所以为增函数,则取,当且仅当时,在有唯一的实根.将代入上式,计算得到，即时,在有唯一的实根.所以,当时,是存在的.定理3当时,系统(1)在地方病病平衡点处是局部渐近稳定的.证明现假设.现在对分别求偏导得,,,现在将代入系统(1),即可得jacobian矩阵，得到的特征方程为,其中,,,因为,所以可以得到均大于0.现在列出劳斯表：运用Matlab可以得到(见附录1),且又因为,所以根据Routhhurwitz定理即可得地方病平衡点是局部渐近稳定的.根据以上分析,当时,传染病平衡点是存在且局部渐近稳定的.3结论本文对SEIS传染病模型...