基于离散卡尔曼滤波的信号波形估计一、背景介绍1.1研究背景在实际中，我们所观测的信号都是受到噪声干扰的。如何尽可能地抑制噪声，而把有用信号分离出来，是信号处理中经常遇到的问题。二次世界大战期间，由于军事的需要，首先由数学家维纳提出的。维纳滤波需要设计维纳滤波器，它的求解要求知道随机信号的统计特性，即相关函数和功率谱密度，得到的结果是封闭的解。但是维纳滤波的限制是，它仅适用于一维平稳随机信号，这是由于采用频率设计方法造成的。20世纪50年代，随着空间技术的发展，为了解决多输入、多输出非平稳随机信号的估计问题，卡尔曼于1960年采用状态方程和观测方程描述系统的信号模型，提出了离散状态估计的一组地推公式，即卡尔曼滤波公式。其基本思想是以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值。算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。由于卡尔曼滤波采用的递推算法非常适合计算机处理，所以现已广泛应用于包括信号处理、图像处理、雷达目标跟踪、模式识别等许多领域，并取得了很好效果。1.2研究现状经典卡尔曼滤波是一种时域滤波方法，算法采用递推形式，数据存储量小，运算速度快。但是经典卡尔曼滤波在实际应用中同样受到限制。卡尔曼滤波最优算法是建立在系统动态函数模型能够准确表达系统的运动状况和随机模型能够准确表达系统测量误差分布的假设基础上，从而能够得到其最优估计。然而在很多动态模型中，系统并非线性的，因此人们提出了扩展卡尔曼滤波。包括：扩维无迹卡尔曼滤波，自适应卡尔曼滤波等。扩维无迹卡尔曼滤波(UnscentedKalmanFilter,UKF),它是在以无迹变换(UnscentedTransformation,UT)为基础,借用卡尔曼线性滤波框架而建立起来的。它直接利用非线性状态方程来估算状态向量的概率密度函数。但是,简单的UKF在面对系统中的噪声影响较大时不能得到精确的滤波结果,改进的无迹卡尔曼滤波算法则是在初始状态中引入过程噪声和测量噪声,使得采样点也包括了这些噪声,这样在状态预测和更新过程中,噪声的影响就能够在非线性系统中进行传输和估计,使得滤波信号更好地接近真实值,尤其是当信号的系统噪声和观测噪声影响较大时。自适应卡尔曼滤波（AKF）具有自适应特性非常适合动态系统滤波而受到广泛重视，因此在采用卡尔曼滤波处理动态测量数据时，一般都要考虑采取适当的自适应滤波方法来解决这一问题。1.3本文主要内容本文的主要研究思路和结构如下：第1章主要介绍了卡尔曼滤波的研究背景、分析其研究现状。第2章主要介绍了经典卡尔曼滤波理论和算法设计过程，包括卡尔曼滤波的主要特点和性质，时间更新方程和测量更新方程，卡尔曼滤波的递推算法等。第3章则是基于MATLAB的软件仿真分析，主要讨论了有脉冲噪声和无脉冲噪声的信号波形估计，并讨论了估计波形的最小均方误差（mse）和脉冲噪声出现概率得到关系。二、原理简述2.1系统模型离散卡尔曼滤波的信号模型是由离散的状态方程和观测方程组成的。其是建立在线性代数和隐马尔可夫模型（HiddenMarkovModel)上。其基本系统可以用一个马尔可夫链表示，该马尔可夫链建立在一个被高斯噪声干扰的线性算子上的。系统的状态可以用一个元素为实数的向量表示。随着离散时间的增加，这个算子就会作用在当前状态上，产生一个新的状态，并也会带入一些噪声，同时系统的一些已知的控制信息也会被加入。同时，另一个受噪声干扰的线性算子产生出这些隐含状态的可见输出。设离散时间系统在tk时刻（以下简称k时刻）的状态是由M个状态变量构成的M维状态矢量sk来描述的，则其状态方程表示为（2-1）在离散卡尔曼滤波的信号模型中，上式称为离散状态方程。其中Φk,k−1是系统从k-1时刻到k时刻的M*M一步状态转移矩阵，wk−1是k-1时刻系统受到的L维扰动噪声矢量，Γk−1是k-1时刻反映扰动噪声矢量对系统状态矢量影响程度的M*L控制矩阵。另外建立其观测方程为（2-2）式中，xk是k时刻的N维观测信号矢量，Hk是k时刻的N*M观测矩阵，nk是k时刻的N维观测噪声矢量。系统模型图如下所...