4.3.1等比数列（1）重点练一、单选题1．等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lgan}的前10项和等于（）A．2B．lg50C．5D．102．已知是等比数列，且，，那么的值等于（）A．5B．10C．15D．203．已知等比数列满足，且，则当时，（）A．B．C．D．4．在等比数列中，，则使不等式成立的的最大值是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题5．若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比q的值为__________．6．设，，，，则数列的通项公式=．三、解答题7．（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；（2）设、是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列.参考答案1．【答案】C【解析】由题意可知a4a7＝a5a6＝a3a8＝a2a9＝a1a10，即a1a2…a9a10＝105，所以数列{lgan}的前10项和等于lga1＋lga2＋…＋lga9＋lga10＝lga1a2…a10＝lg105＝5故选C2．【答案】A【解析】由于是等比数列，，，又.故选A.3．【答案】C【解析】因为为等比数列，所以,.故选C.4．【答案】C【解析】∵在等比数列中，，∴公比，∴时，；时，.∵，∴，，，∴，又当时，，∴使不等式成立的的最大值为7.故选C5．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为，可设三数为，，，可得，求出，公比的值为1故填16．【答案】2n+1【解析】由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则．故填2n+17．【答案】（1）p=2或p=3；（2）证明见解析.【解析】（1）因为｛cn＋1－pcn｝是等比数列，故有：（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1），将cn＝2n＋3n代入上式，得：［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］·［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］，即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］，整理得（2－p）（3－p）·2n·3n＝0，解得p=2或p=3.（2）证明：设｛an｝、｛bn｝的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn.为证｛cn｝不是等比数列只需证c22≠c1·c3.事实上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq，c1·c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2），由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不为零，因此c22≠c1·c3，故｛cn｝不是等比数列.